Question

設函數(shù)

（Ⅰ）當時，求的最大值；

（Ⅱ）令，（），其圖象上任意一點處切線的斜率≤恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）當，，方程有唯一實數(shù)解，求正數(shù)的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）極大值為，此即為最大值；（2）≥；（3）.

【解析】本題考查導數(shù)在研究函數(shù)性質、研究不等式和方程問題中的綜合運用，試題的難度不大，但考查點極為全面。本題的難點是第三問中方程解的研究，當函數(shù)具有極值點時，在這個極值點左右兩側，函數(shù)的單調性是不同的，這樣就可以根據(jù)極值的大小，結合函數(shù)圖象的變化趨勢確定方程解的個數(shù)，如本題中函數(shù)在定義域內有唯一的極值點，而且是極小值點，也就是最小值點，如果這個最小值小于零，函數(shù)就出現(xiàn)兩個零點，方程就有兩個不同的實數(shù)解，只有當這個最小值等于零時，方程才有一個實數(shù)解，而最小值等于零的這個極小值點滿足在此點處的導數(shù)等于零，函數(shù)值也等于零，即我們的【解析】中的方程組，由這個方程組求解使用了構造函數(shù)通過函數(shù)的性質得到的方法也是值得仔細體會的技巧。（1）函數(shù)的定義域是，把代入函數(shù)解析式，求其導數(shù)，根據(jù)求解目標，這個導數(shù)在函數(shù)定義域內只有一個等于零的點，判斷這唯一的極值點是極大值點即可；（2）即函數(shù)的導數(shù)在小于或者等于恒成立，分類參數(shù)后轉化為函數(shù)的最值；（3）研究函數(shù)是單調性得到函數(shù)的極值點，根據(jù)函數(shù)圖象的變化趨勢，判斷何時方程有唯一實數(shù)解，得到所滿足的方程，解方程求解。

解：（1）依題意，知的定義域為（0，+∞），當時，，

（2′）令=0，解得．（∵）

因為有唯一解，所以，當時，

，此時單調遞增；當時，，此時單調遞減。

所以的極大值為，此即為最大值………4分

（2），，則有≤，在上恒成立，

所以≥，（8′）當時，取得最大值，

所以≥………8分

（3）因為方程有唯一實數(shù)解，所以有唯一實數(shù)解，

設，則．令，．因為，，所以（舍去），，

當時，，在（0，）上單調遞減，當時，，在（，+∞）單調遞增當時，=0，取最小值．（12′）

則既

所以，因為，所以（*）

設函數(shù)，因為當時，是增函數(shù)，所以至多有一解．

因為，所以方程（*）的解為，即，解得．…12分