Question

設(shè)橢圓C:(a〉b>0)的左焦點(diǎn)為，橢圓過點(diǎn)P（）

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知點(diǎn)D(l,0),直線l:與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，以DA和DB為鄰邊的四邊形是菱形，求k的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

解 （1）由題意知，b2 = a2－3，由 得 2a4－11a2 + 12 = 0，

所以（a²－4）（2a²－3）= 0，得 a² = 4或（舍去），

因此橢圓C的方程為．                      ……………… 4分

（2）由 得 ．

所以4k² + 1＞0，，

得 4k² + 1＞m²．                ①                       ……………… 6分

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)為M（x₀，y₀），

則，，

于是 ，，．

設(shè)菱形一條對角線的方程為，則有 x =－ky + 1．

將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入，得 ，所以．     ②

將②代入①，得，

所以9k²＞4k² + 1，解得 k∈．  ……………… 12分

法2：

則由菱形對角線互相垂直，即直線l與垂直，由斜率的負(fù)倒數(shù)關(guān)系可整理得，即－3km = 4k² + 1，即， 代入①即得．

法3： 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)為M（x₀，y₀），

則，，于是，兩式相減可得 ，

即 x₀ + 4ky₀ = 0．      ①              

 因?yàn)?QD⊥AB，所以 ．         ②

由①②可解得 ，，表明點(diǎn)M的軌跡為線段（）．

當(dāng)，k∈（，+∞）；當(dāng)，k∈（－∞,）．

綜上，k的取值范圍是k∈．

【解析】略