17、ABCD是長(zhǎng)方形,四個(gè)頂點(diǎn)在平面α上的射影分別為A′、B′、C′、D′,直線A′B與C′D′不重合.①求證:A′B′C′D′是平行四邊形;②在怎樣的情況下,A′B′C′D′是長(zhǎng)方形?證明你的結(jié)論.
分析:①根據(jù)長(zhǎng)方形在平面上的投影,知道點(diǎn)與投影的連線與平面α垂直,得到線與線平行,從而得到線與面平行,得到面與面平行,根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理得到兩對(duì)對(duì)邊互相平行,得到平行四邊形.
②當(dāng)長(zhǎng)方形所在的平面與平面α平行時(shí),投影圖象是一個(gè)長(zhǎng)方形,根據(jù)面與面平行,其中一個(gè)平面與一條線垂直,得到直線與另一個(gè)平面垂直,根據(jù)線面垂直得到線線垂直,得到投影的兩條相鄰邊是垂直關(guān)系.
解答:證明:①∵AA'⊥α,BB'⊥α,
∴AA'∥BB',
∴AA'∥面BB'C'C.同理AD∥面BB'C'C,
∴面AA'D'D∥面BB'C'C,
∴A'D'∥B'C'
同理AA'∥C'D'.
∵A'B'與C'D'不重合,
∴A'B'C'D'為平行四邊形.
②在ABCD∥α?xí)r,A'B'C'D'為長(zhǎng)方形.
∵ABCD∥α,
∴AA'⊥ABCD,
∴A'A⊥AB,
∴AB⊥面AA'D'D.
∵AB∥A'B',
∴A'B'⊥面AA'D'D,
∴B'A'⊥A'D',
∴A'B'C'D'為長(zhǎng)方形.
點(diǎn)評(píng):本題考查平行投影及平行投影作圖法,考查面面平行的判定定理,考查線面垂直的定義,考查面面平行的性質(zhì)定理,是一個(gè)綜合題目.
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①?x∈R,ex≥ex;②?x0∈(1,2),使得(
x
2
0
-3x0+2)ex0+3x0-4=0
成立;③若ABCD為長(zhǎng)方形,AB=2,BC=1,O為AB的中點(diǎn),在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),取得的點(diǎn)到O距離大小1的概率為1-
π
2
;④在△ABC中,若tanA+tanB+tanC>0,則△ABC是銳角三角形,其中正確命題的序號(hào)是
①②④
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