Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=

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AB，E是PB的中點．
（Ⅰ）求證：EC∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：BD⊥平面PAD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)PA的中點為F，連接EF、DF，欲證EC∥平面PAD，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證EC與平面PAD內(nèi)一直線平行，而根據(jù)條件可知四邊形FECD是平行四邊形則CE∥DF，滿足定理條件，則EC∥平面PAD；
（Ⅱ）取AD的中點H，連接PH，根據(jù)PA=PD，所以PH⊥AD，又根據(jù)平面PAD⊥平面ABCD，從而PH⊥平面ADCB，則PH⊥BD，取AB的中點為G，連接DG，欲證BD⊥平面PAD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BD與平面PAD內(nèi)兩相交直線垂直，而AD⊥BD，PH⊥BD，AD∩PH=H，滿足定理所需條件．

解答：證明：（Ⅰ）設(shè)PA的中點為F，連接EF、DF，
因為E是PB的中點，所以EF∥AB且EF=

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AB（3分）
由已知∠ABC=∠BCD=90°，
所以CD∥AB（4分）
又∵DC=

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AB，
∴四邊形FECD是平行四邊形，CE∥DF（6分）
而FD在平面APD內(nèi)
所以EC∥平面PAD（7分）
（Ⅱ）取AD的中點H，連接PH，因為PA=PD，所以PH⊥AD
又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PH⊥平面ADCB
∴PH⊥BD①（10分）
取AB的中點為G，連接DG
由題意易知是DGBC正四邊形，∠GBD=∠BDG=45°AG=GD，∠GAD=∠ADG=45°
所以∠ADB=90°，AD⊥BD②（13分）
由①②可知BD⊥平面PAD（14分）

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及直線與平面垂直的判定，應熟練記憶直線與平面平行的判定定理和直線與平面垂直的判定定理．