Question

設函數f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的偶函數，當x∈[-1，0）時，f（x）=x³-ax（a∈R）．
（1）當x∈（0，1]時，求f（x）的解析式；
（2）若a＞3，試判斷f（x）在（0，1]上的單調性，并證明你的結論；
（3）是否存在a，使得當x∈（0，1]時，f（x）有最大值1？

Answer 1

【答案】分析：（1）先由函數是偶函數得f（-x）=f（x），然后將所求區(qū)間利用運算轉化到已知區(qū)間上，代入到[-1，0）時，f（x）=x³-ax即可求出在（0，1]上，函數的解析式．
（2）先求導函數，然后利用導數的符號確定函數f（x）在（0，1]上的單調性；
（3）討論a，分別利用導數研究函數在（0，1]上的最值，然后建立等式關系，解之即可．
解答：解：（I）設x∈（0，1]，則-x∈[-1，0），
----------（3分）
（II）f'（x）=-3x²+a，∵x∈（0，1]⇒3x²∈[-3，0），
又a＞3，∴a-3x²＞0，即f'（x）＞0，∴f（x）在（0，1]上為增函數．-------------------7 分
（III）當a＞3時，f（x）在（0，1]上是增函數，f_max（x）=f（1）=a-1=1⇒a=2．
（不合題意，舍去）---8 分
當．如下表：

x
f'（x）	+		-
f（x）		最大值

∴，．------（10分）
當a＜0時，f'（x）=a-3x²＜0，f（x）在（0，1]上單調遞減，f（x）在（0，1]無最大值．
∴存在上有最大值1．--------------------------（12分）
點評：本題主要考查了解析式的求解以及函數的單調性，同時考查了利用導數研究閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．