Question

（2013•松江區(qū)二模）在二項(xiàng)式(ax+

3

x

)6(a∈R)的展開式中，常數(shù)項(xiàng)的值是-20，則

lim

n→∞

(a+a2+a3+…+an)=

-

1

4

．

Answer 1

分析：先求出二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為T_r+1=

a6-r•3rC

r 6

x6-2r，令6-2r=0可求r，結(jié)合已知常數(shù)項(xiàng)的 值可求a，然后利用等比數(shù)列的和對(duì)已知式子求和，即可求解極限

解答：解：由題意二項(xiàng)式(ax+

3

x

)6(a∈R)的展開式的通項(xiàng)為T_r+1=

a6-r•3rC

r 6

x6-2r
令6-2r=0可得r=3
此時(shí)的常數(shù)項(xiàng)為T4=(3a)3

C

3 6

=-20，解得a=-

1

3

則

lim

n→∞

(a+a2+a3+…+an)=

lim

n→∞

- 1 3 [1-(- 1 3 )n]

1+ 1 3

=-

1

4

故答案為：-

1

4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求解指定項(xiàng)，等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用及數(shù)列極限的求解．