有以下命題:①若集合A={1,2},B={x|x⊆A},則A∈B;②二項式(2x-3y)5的展開式的各項的系數(shù)和為25;③已知函數(shù)f(x)=2x3-3(a-1)x2+6(a2-8)x+1在x=1處取得極值,則實數(shù)a的值是-2或3;④已知點P(x,y)是拋物線y2=-12x的準線與雙曲線x2-y2=1的兩條漸近線所圍成的三角形區(qū)域(含邊界)內(nèi)的任意一點,則z=2x-y的最大值為9.其中正確命題的序號有________.
①④
分析:求出集合B的元素判斷出①正確;給二項式(2x-3y)
5中的x,y賦值1得到展開式的各項的系數(shù)和為-2
5,判斷出②不正確
求出f′(x)根據(jù)極值的特點得到f′(1)=0,求出a=-2或a=3,將a的值代入導函數(shù)驗證,判斷出當a=3時不合題意;判斷出③不正確;求出拋物線的準線,雙曲線的漸近線,利用線性規(guī)劃求出z的最大值判斷出④正確.
解答:對于①,因為B={x|x⊆A}={∅,{1},{2},{1,2}},所以A∈B,故①正確;
對于②,令二項式(2x-3y)
5的x=y=1得展開式的各項的系數(shù)和為-2
5,故②不正確;
對于③,因為f′(x)=6x
2-6(a-1)x+6(a
2-8),因為在x=1處取得極值,所以6-6(a-1)+6(a
2-8)=0,所以a=-2或a=3,
當a=-2時,f′(x)=6x
2-6(a-1)x+6(a
2-8)=6x
2+18x-24=6(x-1)(x+4)合題意;
當a=3時,f′(x)=6x
2-6(a-1)x+6(a
2-8)=6x
2-12x+6=6(x-1)
2不合題意;故③不正確;
對于④,據(jù)題意,拋物線y
2=-12x的準線與雙曲線x
2-y
2=1的兩條漸近線所圍成的三角形區(qū)域為:
當直線z=2x-y過(3,-3)時z有最大值,最大值為9,故④正確;
故答案為①④
點評:本題考查通過賦值法求二項展開式的系數(shù)和;考查利用導數(shù)解決函數(shù)的極值問題,考查利用線性規(guī)劃求函數(shù)的最值問題,屬于中檔題.