解:
(1)S
2-S
1=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,
S
4-S
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536050.png)
,
S
8-S
4=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536051.png)
.(2分)
(2)當n≥1時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536052.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536053.png)
+…+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3903.png)
(共2
n-1項)
≥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3903.png)
×2
n-1=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,當且僅當n=1時,等號成立.(4分)
(3)由于S
1=1,當n≥1時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/198704.png)
≥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,
于是,要使得S
T>2010,只需
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536054.png)
>2009.
將
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536054.png)
按照第一組2
1項,第二組2
2項,,第n組2
n項的方式分組(6分)
由(2)可知,每一組的和不小于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,且只有n=1時等于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,
將這樣的分組連續(xù)取2×2009組,加上a
1,共有2
4019項,
這2
4019項之和一定大于1+2009=2010,
故只需T=2
4019,就能使得S
T>2010;(8分)
(注:只要取出的T不小于2
4015,并說出相應(yīng)理由,都給滿分)
(4)設(shè)這樣的f(n)存在,n=2時,
有1=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536055.png)
?f(2)=2,n=3時,有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/259.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536056.png)
?f(3)=3,
猜測f(n)=n(n≥2).下面用數(shù)學歸納法證明:
①n=2,3時,上面已證,猜測正確;
②設(shè)n=k(k≥2)時,f(n)=k即S
1+S
2++S
n-1=k(S
k-1)成立
則S
1+S
2++S
n-1+S
k=k(S
k-1)+S
k
=(k+1)S
k-k
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/536057.png)
=(k+1)(S
k+1-1).
即n=(k+1)時,猜測也正確.
綜上所述,存在f(n)=n,使得S
1+S
2++S
n-1=f(n)(S
n-1)對于大于1的正整數(shù)都成立(13分)
分析:(1)較為簡單,代入可計算;
(2)由(1)可猜想(2)的結(jié)論也是成立的,證明時要適當?shù)姆趴s每一項(共2
n-1項)都縮小為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3903.png)
,
(3)的解答可由(2)的結(jié)論想到:新數(shù)列S
2-S
1,S
4-S
2,S
8-S
4…中每一項的值都大于等于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,那么4018項的和為2009,于是對于數(shù)列{a
n}中連同a
1就有2
4019項,即a
1+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/591486.png)
>1+2009=2010.
(4)可利用數(shù)學歸納法,思路是利用n=1,2時的結(jié)論猜想命題成立,然后用歸納法證明即可,關(guān)鍵是如何利用好歸納假設(shè).
點評:本題考查了數(shù)列前n項和的概念,不等式恒成立問題,數(shù)學歸納法的應(yīng)用,合理猜想與邏輯推理的概念.對不等式的考查有一定的難度,綜合性較強,需要同學有深厚的功底才能勝任本題的解答,對數(shù)學歸納法的考查較深.