Question

已知橢圓C的中心在原點，一個焦點F(-2,0)，且長軸長與短軸長的比為，

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)點M(m,0)在橢圓C的長軸上，設(shè)點P是橢圓上的任意一點，若當(dāng)最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，求實數(shù)m的取值范圍.

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】

試題分析：

（1）根據(jù)橢圓的中心在原點可以設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，已知焦點坐標(biāo)，故可求的c值，所以利用長軸長與短軸長之比和a,b,c的關(guān)系可以建立關(guān)于a,b的兩個方程式聯(lián)立消元即可求的a,b的值，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方差.（2）根據(jù)題意設(shè)點P的坐標(biāo)，表示,利用點P在橢圓上，得到關(guān)于m和P點橫坐標(biāo)的表達(dá)式，利用二次函數(shù)最值問題，可以得到取得最小值時，m和P點橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，再利用P橫坐標(biāo)的范圍得到m的取值范圍即可.

試題解析：

（1）設(shè)橢圓的方程為. 1分

由題意有：， 3分

解得. 5分

故橢圓的方程為. 6分

（2）設(shè)為橢圓上的動點，由于橢圓方程為，故. 7分

因為，所以

10分

因為當(dāng)最小時，點恰好落在橢圓的右頂點，即當(dāng)時，

取得最小值．而，

故有，解得． 12分

又點在橢圓的長軸上，即． 13分

故實數(shù)的取值范圍是． 14分

考點：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓幾何性質(zhì)最值