已知橢圓C:,F(xiàn)為其右焦點(diǎn),過(guò)F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線l:y=kx+m(km≠0)與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),若線段AB中點(diǎn)在直線x+2y=0上,求△FAB的面積的最大值.
【答案】分析:(1)利用F為其右焦點(diǎn),過(guò)F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為2,建立方程組,求得幾何量,即可求得橢圓方程;
(2)直線l:y=kx+m(km≠0)與橢圓聯(lián)立,利用線段AB中點(diǎn)在直線x+2y=0上求得k的值,求出|AB|,及點(diǎn)F到直線AB的距離,表示出三角形的面積,利用求導(dǎo)數(shù)的方法,即可確定△FAB的面積的最大值.
解答:解:(1)由題意,解得,∴所求橢圓方程為.   …(4分)
(2)直線l:y=kx+m(km≠0)與橢圓聯(lián)立,消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,…(5分)
△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)=8(6-m2)>0,∴
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)P(x,y),由韋達(dá)定理得=,
由點(diǎn)P在直線x+2y=0上,得k=1.                            …(7分)
所以|AB|==
又點(diǎn)F到直線AB的距離
∴△FAB的面積為=(|m|<,m≠0).…(10分)
設(shè)u(m)=(6-m2)(m+2(|m|<,m≠0),則令u′(m)=-2(2m+3)(m+)(m-)=0,可得m=-或m=-或m=
當(dāng)時(shí),u′(m)>0;當(dāng)時(shí),u′(m)<0;
當(dāng)時(shí),u′(m)>0;當(dāng)時(shí),u′(m)<0
又u()=
所以當(dāng)m=時(shí),△FAB的面積取最大值…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查三角形面積的計(jì)算,考查利用導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)的最值,屬于中檔題.
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(1)求橢圓C的方程;
(2)直線l:y=kx+m(km≠0)與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),若線段AB中點(diǎn)在直線x+2y=0上,求△FAB的面積的最大值.

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(2)直線l:y=kx+m(km≠0)與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),若線段AB中點(diǎn)在直線x+2y=0上,求△FAB的面積的最大值.

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(1)求的取值范圍;
(2)若AP∩l=M,AQ∩l=N,求證:M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.

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