Question

已知焦點(diǎn)在y軸,頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線C1經(jīng)過點(diǎn)P(2,2),以C1上一點(diǎn)C2為圓心的圓過定點(diǎn)A(0,1),記為圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn).

(1)求拋物線的方程;

(2)當(dāng)圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),試判斷是否為一定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論;

(3)當(dāng)圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),記,,求的最大值．

 

Answer 1

(1）x2=2y ；(2)定值2；(3）

【解析】

試題分析：(1)由焦點(diǎn)在y軸,頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線假設(shè)為，又C1經(jīng)過點(diǎn)P(2,2)，即可求出拋物線的.即可得拋物線的方程.

(2）當(dāng)圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，寫出圓的方程，再令y=0即可求得圓的方程與x軸的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算兩坐標(biāo)的差即可得到結(jié)論.

(3）當(dāng)圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由(1)可得M,N的坐標(biāo)（其中用圓心的坐標(biāo)表示）.根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式即可用圓心的坐標(biāo)表示m,n的值，將適當(dāng)變形，再根據(jù)基本不等式即可求得的最大值.

(1)由已知,設(shè)拋物線方程為x2=2py,22=2p×2,解得p=1.

所求拋物線C1的方程為x2=2y.-------3分

(2)法1：設(shè)圓心C2(a,a2/2),則圓C2的半徑r=

圓C2的方程為.

令y=0,得x2－2ax+a2－1=0,得x1=a－1,x2=a+1.

|MN|=|x1－x2|=2(定值).------7分

法2：設(shè)圓心C2(a,b),因?yàn)閳A過A(0,1),所以半徑r=,

,因?yàn)镃2在拋物線上,a2=2b,且圓被x軸截得的弦長

|MN|=(定值)---7分

(3)由(2)知,不妨設(shè)M(a-1,0),N(a+1,0),

考點(diǎn)：1.拋物線的性質(zhì).2.最值問題.3.基本不等式的應(yīng)用.