Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，點(diǎn)E是線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)M在上，且MO∥AC．

（1）求證：BC⊥平面PAC；

（2）求證：平面EOM∥平面PAC．

Answer 1

考點(diǎn)：

直線與平面垂直的判定；平面與平面平行的判定．

專題：

計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．

分析：

（1）由PA⊥平面ABC，證出PA⊥BC，由直徑所對(duì)的圓周角證出BC⊥AC，再利用線面垂直判定定理，即可證出BC⊥平面PAC．

（2）根據(jù)三角形中位線定理證出EO∥PA，從而得到EO∥平面PAC，由MO∥AC證出MO∥平面PAC，再結(jié)合面面平行判定定理即可證出平面EOM∥平面PAC．

解答：

解：（1）∵點(diǎn)C是以AB為直徑的⊙O圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC．

∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC．

∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，

∴BC⊥平面PAC．

（2）∵點(diǎn)E是線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，

∴EO∥PA．

∵PA⊂平面PAC，EO⊄平面PAC，∴EO∥平面PAC．

∵M(jìn)O∥AC，AC⊂平面PAC，MO⊄平面PAC，

∴MO∥平面PAC．

∵EO⊂平面EOM，MO⊂平面EOM，EO∩MO=O，

∴平面EOM∥平面PAC．

點(diǎn)評(píng)：

本題給出特殊錐體，求證線面垂直并證明面面平行，著重考查直線與平面垂直的判定、平面與平面平行的判定定理等知識(shí)，考查空間想象能力，屬于中檔題．