Question

如圖，設平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分別為B，D，若增加一個條件，就能推出BD⊥EF，現有：①AC⊥β；②AC與α，β所成的角相等；③AC與CD在β內的射影在同一條直線上；④AC∥EF，那么上述幾個條件中能成為增加的條件的序號是________（填上你認為正確的所有序號）

Answer 1

①③
分析：：①因為AC⊥β，且EF?β所以AC⊥EF．又AB⊥α且EF?α所以EF⊥AB．因為AC∩AB=A，所以EF⊥平面ACBD，因為BD?平面ACBD所以BD⊥EF．
②此時AC與EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF與平面ACDB不垂直，所以就推不出EF與BD垂直．
③因為CD⊥α且EF?α所以EF⊥CD．所以EF與CD在β內的射影垂直，AC與CD在β內的射影在同一條直線上，所以EF⊥AC．因為AC∩CD=C，所以EF⊥平面ACBD，因為BD?平面ACBD所以BD⊥EF．
④若AC∥EF則AC∥平面α所以BD∥AC所以BD∥EF．
解答：①因為AC⊥β，且EF?β所以AC⊥EF．
又AB⊥α且EF?α所以EF⊥AB．
因為AC∩AB=A，AC?平面ACBD，AB?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因為BD?平面ACBD所以BD⊥EF．
所以①可以成為增加的條件．
②AC與α，β所成的角相等，AC與EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF與平面ACDB不垂直，所以就推不出EF與BD垂直．所以②不可以成為增加的條件．
③AC與CD在β內的射影在同一條直線上
因為CD⊥α且EF?α所以EF⊥CD．
所以EF與CD在β內的射影垂直，
AC與CD在β內的射影在同一條直線上
所以EF⊥AC
因為AC∩CD=C，AC?平面ACBD，CD?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因為BD?平面ACBD所以BD⊥EF．
所以③可以成為增加的條件．
④若AC∥EF則AC∥平面α所以BD∥AC所以BD∥EF．
所以④不可以成為增加的條件．
故答案為：①③．
點評：解決此類問題關鍵是熟記相關的平行與垂直的定理，準確把握定理中的條件，這種題型比較注重基礎知識的靈活變形，也是今后命題的一個方向．