Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P是上底面A₁B₁C₁D₁的中心，點(diǎn)Q在線段PD上運(yùn)動(dòng)，則異面直線BQ與A₁D₁所成角θ最大時(shí)，cosθ=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：計(jì)算題,向量法,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：設(shè)正方體的邊長為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出D、B、P、A₁、D₁的坐標(biāo)，設(shè)Q（m，m，2m），（0≤m≤1），并求向量BQ與A₁D₁的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的夾角公式計(jì)算，即可得到所求．

解答： 解：設(shè)正方體的邊長為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，
DA，DC，DD₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），B（2，2，0），P（1，1，2），A₁（2，0，2），
D₁（0，0，2），
設(shè)Q（m，m，2m），（0≤m≤1），
則

A1D1

=（-2，0，0），

BQ

=（m-2，m-2，2m），
則cosθ=

A1D1 • BQ

| A1D1 |•| BQ |

=

2(2-m)

2 4m2+2(m-2)2

=

1

2+4( m 2-m )2

，
當(dāng)m=0時(shí)，

m

2-m

=0；當(dāng)0＜m≤1時(shí)，

m

2-m

=

1

2 m -1

∈（0，1]，
即有2+4（

m

2-m

）²∈[2，6]，
則cosθ∈[

6

6

，

2

2

]．
當(dāng)異面直線BQ與A₁D₁所成角θ最大時(shí)，cosθ最小，且為

6

6

．
故答案為：

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間異面直線所成的角的求法，考查向量法的運(yùn)用，考查向量的夾角公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．