Question

在教育心理學中有時可用函數(shù)f（x）=

0.1+1.5ln a a-x ，(x≥6) x-4.4 x-4 ，(x＞6)

描述學習某學科知識的掌握程度，其中x表示某學科知識的學習次數(shù)（x∈N^*），正實數(shù)a與學科知識有關．
（1）當x≥7時，判斷f（x）的單調性，并加以證明；
（2）根據(jù)經驗，學科甲、乙、丙對應的a的取值區(qū)間分別為（115，121]，（121，127]，（127，133]．當學習某學科知識5次時，掌握程度是70%，請確定相應的學科．（參考數(shù)據(jù)：e^0.04=1.04，e^0.4=1.49）

Answer 1

考點：函數(shù)最值的應用

專題：綜合題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）利用單調性的定義，即可證明結論
（2）學習某學科知識5次時，掌握程度是70%，故得方程0.1+15ln

a

a-5

=0.7，由此方程解出a的值即可確定相應的學科．

解答： 解：（1）當x≥7時，函數(shù)y=f（x）單調遞增．
設x₂＞x₁≥7時，則f（x₂）-f（x₁）=

0.4(x2-x1)

(x1-4)(x2-4)

＞0
∴當x≥7時，函數(shù)y=f（x）單調遞增；
（2）由題意可知0.1+15ln

a

a-5

=0.7
整理得a=

e0.04

e0.04-1

×5=26×5=130∈（127，133]．
由此可知，該學科是丙學科．

點評：本題是分段函數(shù)在實際問題中的應用，在實際問題中，分段函數(shù)是一個很重要的函數(shù)模型．