在正四面體ABCD中,E,F(xiàn),G,H分別是棱AB,BC,AC,BD的中點.(1)證明:平面EHG⊥平面GHF;(2)求二面角E-FG-H的余弦值.

答案:
解析:

解   (1)連結(jié)AF,DF.∵ABCD是正四面體,∴AF⊥BC,DF⊥BC,于是BC⊥平面ADF,∴BC⊥AD.同理AC⊥BD.取AD的中點K,連GK,HK,則KH=HF=FG=GK,又KH∥AB,HF∥CD,∴KH⊥HF,于是KHFG是正方形,設(shè)O是HG與KF的交點,則O是HG和KF的中點.由EG=EH=BC得EO⊥HG,同理EO⊥KF,∴OE⊥平面KHFG,OE平面EHG,∴平面EHG⊥平面GHF.

  (2)設(shè)棱長為a,△EFG是邊長為的正三角形,取GF的中點M,則EM⊥GF,又OM⊥GF,∴∠EMO是二面角E-FG-H的平面角,EM=∠EOM=,∴cos∠EMO=


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在正四面體ABCD中,E、F分別是BC、AD中點,則異面直線AE與CF所成的角是
 
.(用反三角值表示)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知有關(guān)正三角形的一個結(jié)論:“在正三角形ABC中,若D是BC的中點,G是三角形ABC內(nèi)切圓的圓心,則
AG
GD
=2”.若把該結(jié)論推廣到正四面體(所有棱長均相等的三棱錐),則有結(jié)論:“在正四面體ABCD中,若M是正三角形BCD的中心,O是在正四面體ABCD內(nèi)切球的球心,則
AO
OM
=
3
3
”.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某同學(xué)使用類比推理得到如下結(jié)論:
(1)同一平面內(nèi),三條不同的直線a,b,c,若a⊥c,b⊥c,則a∥b,類比出:空間中,三條不同的直線a,b,c,若a⊥c,b⊥c,則a∥b;
(2)a,b∈R,a-b>0則a>b,類比出:a,b∈C,a-b>0則a>b;
(3)以點(0,0)為圓心,r為半徑的圓的方程是x2+y2=r2,類比出:以點(0,0,0)為球心,r為半徑的球的方程是x2+y2+z2=r2;
(4)正三角形ABC中,M是BC的中點,O是△ABC外接圓的圓心,則
AO
OM
=2
,類比出:在正四面體ABCD中,若M是△BCD的三邊中線的交點,O為四面體ABCD外接球的球心,則
AO
OM
=3

其中類比的結(jié)論正確的個數(shù)是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在正四面體ABCD中,點E為棱AD的中點,則異面直線AB與CE所成角的大小為
arccos
3
6
arccos
3
6

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在正四面體ABCD中,E,F(xiàn)分別為BC,AD的中點,則異面直線AE與CF所成角的余弦值是
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案