設函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，并且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f(
13
)=1．
（1）求f（1）的值；
（2）如果f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范圍．
分析：（1）利用賦值法：令x=y=1即可求解
（2）利用賦值法可得，f（
1
9
）=2，然后結合f（xy）=f（x）+f（y），轉(zhuǎn)化已知不等式，從而可求
解答：解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0（4分）
（2）∵f(
1
3
)=1
∴f(
1
9
)=f(
1
3
×
1
3
)=f(
1
3
)+f(
1
3
)=2
∴f(x)+f(2-x)=f[x(2-x)]＜f(
1
9
)，
又由y=f（x）是定義在R+上的減函數(shù)，得：
x(2-x)＞
1
9
x＞0
2-x＞0

解之得：x∈(1-
2
2
3
，1+
2
2
3
)．   …（12分）
點評：本題主要考查了利用賦值法求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，及利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，屬于函數(shù)知識的綜合應用
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f （x）是定義域為R的奇函數(shù)，且滿足f （x-2）=-f （x）對一切x∈R恒成立，當-1≤x≤1時，f （x）=x3，則下列四個命題：
①f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．
②f（x）在[1，3]上的解析式為f （x）=（2-x）3．
③f（x）在(
3
2
，f(
3
2
))處的切線方程為3x+4y-5=0．
④f（x）的圖象的對稱軸中，有x=±1，其中正確的命題是（　�。�
A、①②③B、②③④
C、①③④D、①②③④

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，并且滿足下面三個條件：
①對正數(shù)x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②當x＞1時，f（x）＜0；
③f（3）=-1
（I）求f（1）和f(
19
)的值；
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）是定義在R上以1為周期的函數(shù)，若g（x）=f（x）-2x在區(qū)間[2，3]上的值域為[-2，6]，則函數(shù)g（x）在[-12，12]上的值域為（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）是定義在正實數(shù)上的增函數(shù)，且f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求證：f（
xy
）=f（x）-f（y）；
（2）若f（3）=1，f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x-2）=-f（x）對一切x∈R都成立，又當x∈[-1，1]時，f（x）=x3，則下列五個命題：
①函數(shù)y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；
②當x∈[1，3]時，f（x）=（ x-2）3；
③直線x=±1是函數(shù)y=f（x）圖象的對稱軸；
④點（2，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的對稱中心；
⑤函數(shù)y=f（x）在點（
3
2
，f（
3
2
））處的切線方程為3x-y-5=0．
其中正確的是
①③
①③
．（寫出所有正確命題的序號）

查看答案和解析>>

同步練習冊答案