Question

若橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，線段F₁F₂被拋物線y²=2bx的焦點(diǎn)分成3：1的兩段，過點(diǎn)C（-1，0），斜率k為的直線l交橢圓于不同兩點(diǎn)A、B，滿足

AC

=2

CB

．
（1）求橢圓的離心率；
（2）當(dāng)三角形OAB的面積最大時(shí)，求橢圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由c+

b

2

=3（c-

b

2

），能夠求出橢圓的離心率．
（2）設(shè)直線l：x=ky-x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

AC

=2

CB

，知2y₂+y₁=0，直線代入橢圓方程得（k²+2）y²-2ky+1-2b²=0，再利用韋達(dá)定理，結(jié)合題設(shè)條件，能夠求出橢圓方程．

解答： 解：（1）由題意知，c+

b

2

=3（c-

b

2

），…（2分）
∴b=c，
∴a²=2b²，…（3分）
∴e=

c

a

=

2

2

．…（5分）
（2）設(shè)直線l：x=ky-x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

AC

=2

CB

，
∴（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），即2y₂+y₁=0，①…（7分）
由（1）知，a²=2b²，∴橢圓方程為x²+2y²=2b²，
直線代入橢圓方程消去x，得（k²+2）y²-2ky+1-2b²=0，
∴y₁+y₂=

2k

k2+2

，…②y₁y₂=

1-2b2

k2+2

，…③
由①②知，y₂=-

2k

k2+2

，y₁=

4k

k2+2

，…（9分）
∵S_△AOB=

1

2

|y₁-y₂|，
∴S=3•

|k|

k2+2

=3•

1

2 |k| +k

≤

3 2

4

=，…（11分）
當(dāng)且僅當(dāng)|k|²=2，即k=±

2

時(shí)取等號(hào)，
又當(dāng)|k|²=2時(shí)，y₁y₂=-1，
∴由y₁y₂=

1-2b2

k2+2

，得b²=

5

2

，
∴橢圓方程為

x2

5

+

y2

5 2

=1．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率的求法，考查橢圓方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．