Question

已知圓N：（x+3）²+y²=1，拋物線C：y=mx²（m＞0）的焦點為（0，1）．
（Ⅰ）若P為圓N上任意一點，求|PF|的最小值及相應(yīng)點P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求證：在拋物線C上有且僅存在一個橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點Q，使過點Q且與圓N相切的直線l₁，l₂，分別交拋物線的準(zhǔn)線于點A，B，且|AB|=4

2

，并求出點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件求出拋物線方程C的方程為x²=4y，當(dāng)點P位于線段NF上時，|PF|取得最小值．由此能求出結(jié)果．
（Ⅱ）設(shè)點Q（2t，t²）．由排除法求出t²≠1，t≠-2．由已知條件推導(dǎo)出7t⁴-20t²-12t=0，由此能證明在拋物線C上有且僅存在一點Q（0，0）滿足題意．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可設(shè)拋物線方程C的方程為x2=2py=

y

m

(p＞0)，則

p

2

=1，
∴拋物線方程C的方程為x²=4y．…（2分）
當(dāng)點P位于線段NF上時，|PF|取得最小值．
∵NF：y=1+

x

3

，代入圓N的方程（x+3）²+y²=1，得

10

9

(x-3)2=1．
解得點P的橫坐標(biāo)xP=-3+

3 10

10

．
∴當(dāng)點P為(-3+

3 10

10

，

10

10

)時，|PF|取得最小值

10

-1．…（6分）
（Ⅱ）證明：設(shè)點Q（2t，t²）．
若t²=1，則有一條切線與拋物線的準(zhǔn)線不相交，故t²≠1．
若t=-2，則l1：x=-4，l2：y=-

15

8

x-

7

2

，不合題意，故t≠-2．…（8分）
切線l1：y-t2=k1(x-2t)，則

|k1(-3-2t)+t2|

1+k12

=1．
同理l2：y-t2=k2(x-2t)，則

|k2(-3-2t)+t2|

1+k22

=1．
∴k₁，k₂是方程

|k(-3-2t)+t2|

1+k2

=1的兩根．
即方程4（t²+3t+2）k²-2（3+2t）t²k+t⁴-1=0的兩根．
∴k1+k2=

2(3+2t)t2

4(t2+3t+2)

，k1•k2=

t4-1

4(t2+3t+2)

．…（10分）
又準(zhǔn)線：y=-1，
∴|AB|=|

-1-t2

k1

-

-1-t2

k2

|=(1+t2)

(k1+k2)2-4k1k2

|k1•k2|

=

2 t4+4t2+12t+8

|t2-1|

．…（11分）
∵|AB|=4

2

，
∴

2 t4+4t2+12t+8

|t2-1|

=4

2

．
化簡，得7t⁴-20t²-12t=0．…（13分）
∴t=0或7t³-20t-12=0．
經(jīng)檢驗，方程7t³-20t-12=0無整數(shù)解．
故在拋物線C上有且僅存在一點Q（0，0）滿足題意．…（15分）

點評：本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力．