科目： 來源：2012年廣東省梅州市高考數學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

己知點A（1，0），B（0，1），C（2sinθ，cosθ）．
（1）若=1，其中O為坐標原點，求sin2θ的值；
（2）若，且θ在第三象限．求sin（θ+）值．

科目： 來源：2012年廣東省梅州市高考數學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

一個社會調查機構就某社區(qū)居民的月收入調查了10 000人，并根據所得數據畫了樣本的頻率分布直方圖（如圖）．
（1）為了分析居民的收入與年齡、學歷、職業(yè)等方面的關系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進一步調查，求月收入在[1500，2000）（元）段應抽出的人數；
（2）為了估計該社區(qū)3個居民中恰有2個月收入在[2000，3000）（元）的概率，采用隨機模擬的方法：先由計算器算出0到9之間取整數值的隨機數，我們用0，1，2，3，…表示收入在[2000，3000）（元）的居民，剩余的數字表示月收入不在[2000，3000）（元）的居民；再以每三個隨機數為一組，代表統(tǒng)計的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數如下：
907  966  191  925  271  932  812  458
569  683  431  257  393  027  556  488
730  113  537  989
據此估計，計算該社區(qū)3個居民中恰好有2個月收入在[2000，3000）（元）的概率．
（3）任意抽取該社區(qū)6個居民，用ξ表示月收入在（2000，3000）（元）的人數，求ξ的數學期望．

科目： 來源：2012年廣東省梅州市高考數學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點B₁在底面ABC上的射影落在BC上，CA=CB=a，AB=．
（1）求證：AC⊥平面BCC₁B₁；
（2）當BB₁與底面ABC所成的角為60°，且AB₁⊥BC₁時，求點B₁到平面AC₁的距離．

科目： 來源：2012年廣東省梅州市高考數學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

己知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，不等式+≤1所表示的平面區(qū)域的面積為16．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C上是否存在兩個不同的點P，Q，使P，Q關于直線y=4x+m對稱？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

科目： 來源：2012年廣東省梅州市高考數學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數f（x）=lnx-ax．
（1）當a=1時，求f（x）的最大值；
（2）試討論函數y=f（x）的零點情況；
（3）設a_k，b_k，…（k=1，2，…，n）均為正數，若a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n≤b₁+b₂+…+b_n，求證：…≤1．

科目： 來源：2012年廣東省梅州市高考數學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

定義在R上的函數f（x）滿足：f（x+y）=f（x）f（y），且當x＞0時，f（x）＞1．數列{a_n}滿足a_n=1-3k，f（a_n+1）=．
（1）求f（0）的值，并證明f（x）是定義域上的增函數：
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）設0＜a＜b_nS_n為數列{a_n}的前n項和，是否存在實數k，使得對任意正整數n，都有a＜S_n＜b？若存在，求出k的取值范圍，若不存在，請說明理由．

科目： 來源：2012年北京市西城區(qū)高考數學一模試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

科目： 來源：2012年北京市西城區(qū)高考數學一模試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入x=3，則輸出y的值為（ ）

A．5
B．7
C．15
D．31

科目： 來源：2012年北京市西城區(qū)高考數學一模試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

若a=log₂3，b=log₃2，，則下列結論正確的是（ ）
A．a＜c＜b
B．c＜a＜b
C．b＜c＜a
D．c＜b＜a

科目： 來源：2012年北京市西城區(qū)高考數學一模試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

如圖，在復平面內，復數z₁，z₂對應的向量分別是，，則復數對應的點位于（ ）

A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限