對于平面幾何中的命題“夾在兩條平行線之間的平行線段相等”， 在立體幾何中類比上述的命題，可以得到的命題是                   。

由曲線所圍成圖形的面積是________ 。

展開式中的系數(shù)為_______________。

在極坐標系中，過點作圓的切線，則切線長為         。

從4名男生,3名女生中選出三名代表。

(1)不同的選法共有多少種?

(2)至少有一名女生的不同的選法共有多少種?

(3)代表中男、女生都要有的不同的選法共有多少種?

【解析】本試題主要考查了排列組合的運用，第一問中利用從7名學生中選出三名代表，共有選法 種；第二問中，至少有一名女生的不同選法共有 種第三問中，可以運用間接法得到男、女生都要有的不同的選法共有 種。

甲、乙兩人獨立地破譯1個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和，求（1）恰有1人譯出密碼的概率；

（2）若達到譯出密碼的概率為，至少需要多少個乙這樣的人？

【解析】第一問中，考慮兩種情況，是甲乙中的那個人譯出密碼，然后利用互斥事件概率公式相加得到。

第二問中，利用間接法n個乙這樣的人都譯不出密碼的概率為．可以得到結論。

解：設“甲譯出密碼”為事件A；“乙譯出密碼”為事件B，則．

（1） ………………5分

（2）n個乙這樣的人都譯不出密碼的概率為．

．解得．

達到譯出密碼的概率為99/100，至少需要17人.

某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了四次試驗，得到的數(shù)據(jù)如下：

(1)在給定的坐標系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；

(2)求出y關于x的線性回歸方程，并在坐標系中畫出回歸直線；

(3)試預測加工10個零件需要多少時間？

(注：)

【解析】第一問中利用數(shù)據(jù)描繪出散點圖即可

第二問中，由表中數(shù)據(jù)得＝52.5， ＝3.5，＝3.5，＝54，∴＝0.7，＝1.05得到回歸方程。

第三問中，將x＝10代入回歸直線方程，得y＝0.7×10＋1.05＝8.05(小時)得到結論。

(1)散點圖如下圖．

………………4分

(2)由表中數(shù)據(jù)得＝52.5， ＝3.5，＝3.5，＝54，

∴＝…＝0.7，＝…＝1.05.

∴＝0.7x＋1.05.回歸直線如圖中所示．………………8分

(3)將x＝10代入回歸直線方程，得y＝0.7×10＋1.05＝8.05(小時)，

∴預測加工10個零件需要8.05小時

數(shù)列，滿足

（1）求，并猜想通項公式。

（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中的猜想。

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式求解，并用數(shù)學歸納法加以證明。第一問利用遞推關系式得到，，，，并猜想通項公式

第二問中，用數(shù)學歸納法證明（1）中的猜想。

①對n=1，等式成立。

②假設n=k時，成立，

那么當n=k+1時，

，所以當n=k+1時結論成立可證。

數(shù)列，滿足

（1），，，并猜想通項公。  …4分

（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中的猜想。①對n=1，等式成立。  …5分

②假設n=k時，成立，

那么當n=k+1時，

，             ……9分

所以

所以當n=k+1時結論成立                     ……11分

由①②知，猜想對一切自然數(shù)n均成立

三個求職者到某公司應聘，該公司為他們提供了A，B，C，D四個崗位，每人從中任選一個崗位。

（1）求恰有兩個崗位沒有被選的概率；

（2）設選擇A崗位的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望。

【解析】第一問利用古典概型概率公式得到記“恰有2個崗位沒有被選”為事件A，則

第二問中，可能取值為0,1,2,3， 則  ，

， 

從而得到分布列和期望值。

解：（1）記“恰有2個崗位沒有被選”為事件A，則……6分

（2）可能取值為0,1,2,3，… 7分

則  ，

， 

列出分布列 （ 1分）

已知函數(shù)f(x)＝alnx－x²＋1.

(1)若曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為4x－y＋b＝0，求實數(shù)a和b的值；

(2)若a<0，且對任意x₁、x₂∈(0，＋∞)，都|f(x₁)－f(x₂)|≥|x₁－x₂|，求a的取值范圍．

【解析】第一問中利用f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

第二問中，利用當a<0時，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，

不妨設0<x₁≤x₂，則|f(x₁)－f(x₂)|＝f(x₁)－f(x₂)，|x₁－x₂|＝x₂－x₁，

∴|f(x₁)－f(x₂)|≥|x₁－x₂|等價于f(x₁)－f(x₂)≥x₂－x₁，

即f(x₁)＋x₁≥f(x₂)＋x₂，結合構造函數(shù)和導數(shù)的知識來解得。

(1)f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

(2)當a<0時，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，

不妨設0<x₁≤x₂，則|f(x₁)－f(x₂)|＝f(x₁)－f(x₂)，|x₁－x₂|＝x₂－x₁，

∴|f(x₁)－f(x₂)|≥|x₁－x₂|等價于f(x₁)－f(x₂)≥x₂－x₁，即f(x₁)＋x₁≥f(x₂)＋x₂，

令g(x)＝f(x)＋x＝alnx－x²＋x＋1，g(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，

∵g′(x)＝－2x＋1＝(x>0)，

∴－2x²＋x＋a≤0在x>0時恒成立，

∴1＋8a≤0，a≤－，又a<0，

∴a的取值范圍是