已知橢圓過點(diǎn)(0，1)，且離心率為．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)A₁，A₂為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是橢圓C上異于A₁，A₂的動(dòng)點(diǎn)，直線A₁P，A₂P分別交直線l于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．證明：|DE|·|DF|恒為定值．

如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是矩形，AB＝2，BC＝，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，

(Ⅰ)求證：PD⊥AC；

(Ⅱ)在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E－BD－A的大小為45°．若存在，試求的值，若不存在，請說明理由．

設(shè)函數(shù)f(x)＝ax²＋bx＋clnx，(其中a，b，c為實(shí)常數(shù))

(Ⅰ)當(dāng)b＝0，c＝1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)曲線y＝f(x)(其中a＞0)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝3x－3，

(ⅰ)若函數(shù)f(x)無極值點(diǎn)且(x)存在零點(diǎn)，求a，b，c的值；

(ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明f(x)的極小值小于－．

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁＝1，a₂＝3，前n項(xiàng)和為S_n，且，(n≥2，n∈N^*)，設(shè)b₁＝1，b_n+1＝log₂(a_n＋1)＋b_n．

(Ⅰ)判斷數(shù)列{a_n＋1}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；

(Ⅱ)設(shè)，證明：；

(Ⅲ)對于(Ⅰ)中數(shù)列{a_n}，若數(shù)列{l_n}滿足l_n＝log₂(a_n＋1)(n∈N^*)，在每兩個(gè)l_k與l_k+1之間都插入2^k－1(k＝1，2，3，…k∈N^*)個(gè)2，使得數(shù)列{l_n}變成了一個(gè)新的數(shù)列{t_p}，(p∈N^*)試問：是否存在正整數(shù)m，使得數(shù)列{t_p}的前m項(xiàng)的和T_m＝2011？如果存在，求出m的值；如果不存在，說明理由．

已知橢圓方程為，其下焦點(diǎn)F₁與拋物線x²＝－4y的焦點(diǎn)重合，過F₁的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，與拋物線交于C、D兩點(diǎn)．當(dāng)直線l與y軸垂直時(shí)，．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)求過點(diǎn)O、F₁(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，且與直線(其中c為橢圓半焦距)相切的圓的方程；

(Ⅲ)求＝時(shí)直線l的方程，并求當(dāng)斜率大于0時(shí)的直線l被(II)中的圓(圓心在第四象限)所截得的弦長．

直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：直線AB₁⊥平面A₁BD；

(Ⅱ)求二面角A－A₁D－B的大小正弦值；

(Ⅲ)當(dāng)＝λ時(shí)，異面直線DE和AC所成的角為90°時(shí)，求CE的長．

盒內(nèi)有大小相同的10個(gè)球，其中3個(gè)紅色球，3個(gè)白色球，4個(gè)黑色球．

(Ⅰ)現(xiàn)從該盒內(nèi)任取3個(gè)球，規(guī)定取出1個(gè)紅色球得1分，取出1個(gè)白色球得0分，取出1個(gè)黑色球得－1分．設(shè)三個(gè)球得分之和ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(Ⅱ)甲乙兩人做摸球游戲，設(shè)甲從該盒內(nèi)摸到黑球的概率是，乙從該盒內(nèi)摸到黑球的概率是，甲，乙兩人各摸球3次，求兩人共摸中2次黑球的概率．

已知函數(shù)，其中a為實(shí)數(shù)．

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)；

(Ⅱ)若對任意a∈(2，3)及x∈[1，3]時(shí)，恒有ta²－f(x)＞成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

(Ⅲ)已知g(x)＝a²x²＋ax＋1，m(x)＝x³－(a²＋)x²＋(2a＋5)x－3，h(x)＝f(x)＋m(x)，設(shè)函數(shù)是否存在a，對任意給定的非零實(shí)數(shù)x₁，存在惟一的非零實(shí)數(shù)x₂(x₂≠x₁)，使得(x₂)＝(x₁)成立？若存在，求a的值；若不存，請說明理由．

橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其左焦點(diǎn)F₁與拋物線y²＝－4x的焦點(diǎn)重合，過F₁的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，與拋物線交于C、D兩點(diǎn)．當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)求過點(diǎn)F₁、O(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，并且與直線(其中a為長半軸長，c為橢圓的半焦距)相切的圓的方程；

(Ⅲ)求＝時(shí)直線l的方程．

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA＝AB＝2，∠BAD＝60°．

(Ⅰ)求證：直線BD⊥平面PAC；

(Ⅱ)求直線PB與平面PAD所成角的正切值；

(Ⅲ)已知M在線段PC上，且BM＝DM＝2，CM＝3，求二面角B－MC－D的余弦值．