如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，AB=2，BD=1，AF=a．
（Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，求平面DEF與平面ABC的夾角的余弦值；
（Ⅱ）當(dāng)a為何值時(shí)在DE上存在一點(diǎn)P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的長；若不存在，問題補(bǔ)充．

已知函數(shù)f（x）=

x

x+1

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）求證：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=a_na_n+1，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為s_n，求證：

1

2

≤sn＜1．

已知F₁、F₂分別為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1﹙a＞b＞0﹚的左、右焦點(diǎn)，M、N分別為其左右頂點(diǎn)，過F₂的直線L與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)直線L與x軸垂直時(shí)，四邊形AMBN的面積等于．

已知數(shù)列{a_n}與{b_n}有如下關(guān)系：a₁=2，a_n+1=

1

2

（a_n+

1

an

），b_n=

an+1

an-1

．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令c_n=

an-1

an+1-1

求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，當(dāng)n≥2時(shí)，求證S_n＜n+

4

3

．

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，公比為q，且b₂+S₂=12，
（1）求a_n與b_n；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=

1

Sn

，求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解關(guān)于a₁，q的方程組：

a1q4-a1=15 a1q3-a1q=6

．

已知

a

=（

3

cosx-

3

，sinx），

b

=（1+cosx，cosx），設(shè)f（x）=

a

•

b

，求：
（1）f（x）的解析式并簡化；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

6

]上的值域．

定義：若一個(gè)數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)的和都等于同一個(gè)常數(shù)，則稱這個(gè)數(shù)列為等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做公和．同樣道理，若一個(gè)數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)的積都等于同一個(gè)常數(shù)，則稱這個(gè)數(shù)列為等積數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做公積，已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公和為4的等和數(shù)列，前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公積為4的等積數(shù)列，前n項(xiàng)和為
T_n，則

S2012

T2012

=．

已知兩定點(diǎn)F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），G是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，H在線段F₁G上，P在線段F₂G上，F(xiàn)₂G=10，2

F1H

=

F1G

，

HP

•

F1G

=0，則P的軌跡方程是．

設(shè)x，y均為正數(shù)，且x＞y，求證：2x+

1

x2-2xy+y2

≥2y+3．