如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，求證：平面A₁C₁CA⊥平面B₁D₁DB．

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F，右頂點、上頂點分別為點A、B，且|AB|=

5

2

|BF|．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若點M（-

16

17

，

2

17

）在橢圓C內部，過點M的直線l交橢圓C于P、Q兩點，M為線段PQ的中點，且OP⊥OQ．求直線l的方程及橢圓C的方程．

設函數f（x）=e^x+sinx，g（x）=ax，且F（x）=f（x）-g（x）．
（1）若F（x）≥1在[0，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）當a=

1

3

時，存在x₁、x₂∈[0，+∞），使f（x₁）=g（x₂）成立，求x₂-x₁的最小值．

判斷函數f（x）=x²-4|x|+5與函數g（x）=m圖象交點個數．

為選拔選手參加“中國謎語大會”，某中學舉行了一次“謎語大賽”活動．為了了解本次競賽學生的成績情況，從中抽取了部分學生的分數（得分取正整數，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為n）進行統(tǒng)計．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分數的莖葉圖（圖中僅列出了得分在[50，60），[90，100]的數據）．
（Ⅰ）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值；
（Ⅱ）在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學生中隨機抽取2名學生參加“中國謎語大會”，求所抽取的2名學生中至少有一人得分在[90，100]內的概率．

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=1，BC=2，又PB=1，∠PBC=120°，AB⊥PC，直線AB與直線PD所成的角為60°．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PBC；
（Ⅱ）求AB的長，并求二面角D-PB-C的余弦值；
（Ⅲ）求三棱錐A-DPB的體積．

無窮數列{a_n}的前n項和S_n=npa_n（n∈N^*），并且a₁≠a₂．S₁₀=45．
（1）求p的值；
（2）求{a_n}的通項公式；
（3）作函數f（x）=a₂x+a₃x²+…+a_n+1xⁿ，證明：f（

1

3

）＜

3

4

．

二次函數f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x+3，且f（0）=-3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設圓C經過上述二次函數的圖象與兩坐標軸的三個交點，求圓C的方程；
（Ⅲ）設直線l₁：mx-y+2=0與（Ⅱ）中的圓C交于A，B兩點，是否存在實數m，使得過點P（1，1）的直線l₂垂直平分弦AB？若存在，求出實數m的值；若不存在，請說明理由．

已知命題p：-10≤x≤2，q：x²-2x+1-a²≥0（a＞0），若非p是q的充分不必要條件，求a的取值范圍．

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，AC=9，∠BCA=30°，∠ADB=45°．
（Ⅰ）求sin∠ABC；
（Ⅱ）求BD的長度．