已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）離心率為

2

2

，且橢圓的長軸比焦距長2

2

-2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)M（0，-

1

3

）的動直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點(diǎn)T，使得無論l如何轉(zhuǎn)動，以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)是F，準(zhǔn)線是l，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)A，B，直線OA（O為原點(diǎn)）交準(zhǔn)線l于點(diǎn)M，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）求證：y₁y₂是一個定值；
（2）求證：直線MB平行于x軸．

已知離心率為

3

2

的橢圓C₁的頂點(diǎn)A₁，A₂恰好是雙曲線

x2

3

-y²=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C₁上不同于A₁，A₂的任意一點(diǎn)，設(shè)直線PA₁，PA₂的斜率分別為k₁，k₂．
（1）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)k₁=

1

2

，在焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C₁上求一點(diǎn)Q，使該點(diǎn)到直線PA₂的距離最大．
（3）試判斷乘積“k₁•k₂”的值是否與點(diǎn)P的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論．

某圓錐曲線有下列信息：
①曲線是軸對稱圖形，且兩坐標(biāo)軸都是對稱軸；
②焦點(diǎn)在x軸上且焦點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為1；
③曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)不是兩個；
④曲線過點(diǎn)A（1，

3

2

）．
（1）判斷該圓錐曲線的類型并求曲線的方程；
（2）點(diǎn)F是改圓錐曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)F′是F關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，點(diǎn)P為曲線上的動點(diǎn)，探求以|PF|以及|PF|•|PF′|的取值范圍．

已知離心率為

3

2

的橢圓C，其長軸的端點(diǎn)A₁，A₂恰好是雙曲線

x2

3

-y²=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上不同于A₁，A₂的任意一點(diǎn)，設(shè)直線PA₁，PA₂的斜率分別為k₁，k₂．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）試判斷乘積“k₁•k₂”的值是否與點(diǎn)P的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)k₁=

1

2

，在橢圓C上求點(diǎn)Q，使該點(diǎn)到直線PA₂的距離最大．

已知

m

=（bsinx，acosx），

n

=（cosx，-cosx），f（x）=

m

•

n

+a，其中a，b，x∈R．且滿足f（

π

6

）=2，f′（0）=2

3

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）-log 

1

3

k=0在區(qū)間[0，

2π

3

]上總有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

已知動點(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)A(-

3

，0)，B(

3

，0)連線的斜率的積為定值-

1

3

．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點(diǎn)？請說明理由．

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個頂點(diǎn)為B(0，

3

)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率e=

1

2

，直線l：y=x+1與橢圓交于M、N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求弦MN的長．

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率是

2

2

，A₁，A₂分別是橢圓C的左、右兩個頂點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓C的右焦點(diǎn)．點(diǎn)D是x軸上位于A₂右側(cè)的一點(diǎn)，且滿足

1

|A1D|

+

1

|A2D|

=

2

|FD|

=2．
（1）求橢圓C的方程以及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)D作x軸的垂線n，再作直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點(diǎn)P，直線l交直線n于點(diǎn)Q．求證：以線段PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

已知拋物線C的方程為y=

1

2p

x2，焦點(diǎn)F（0，1）．直線y=2與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)A，B在拋物線C上．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若∠BMN=∠AMN，求證：直線AB的斜率為定值；
（3）若直線AB的斜率為

2

，且點(diǎn)N到直線MA，MB的距離的和為8，試判斷△MAB的形狀，并證明你的結(jié)論．