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【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù),
(I)若,函數(shù)
①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
②若函數(shù)的值域為,求實數(shù)的取值范圍
(II)若存在實數(shù),使得,且,求證:
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【題目】某公司計劃在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過 300 分鐘的廣告,廣告總費用不超過9萬元.甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘.甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告,能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.設(shè)該公司在甲、乙兩個電視臺做廣告的時間分別為分鐘和分鐘.
(Ⅰ)用列出滿足條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;
(Ⅱ)該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺做廣告的時間使公司的收益最大,并求出最大收益是多少?
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【題目】設(shè)函數(shù), .
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在處取得極大值,求正實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,離心率.以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形的周長為8,面積為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若點為橢圓上一點,直線的方程為,求證:直線與橢圓有且只有一個交點.
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【題目】某公司為了準確地把握市場,做好產(chǎn)品生產(chǎn)計劃,對過去四年的數(shù)據(jù)進行整理得到了第年與年銷量(單位:萬件)之間的關(guān)系如下表:
(1)在圖中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖;
(2)根據(jù)散點圖選擇合適的回歸模型擬合與的關(guān)系(不必說明理由);
(3)建立關(guān)于的回歸方程,預(yù)測第5年的銷售量.
附注:參考公式:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:
, .
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【題目】如圖是2017年第一季度五省情況圖,則下列陳述正確的是( )
①2017年第一季度 總量和增速均居同一位的省只有1個;
②與去年同期相比,2017年第一季度五個省的總量均實現(xiàn)了增長;
③去年同期的總量前三位是江蘇、山東、浙江;
④2016年同期浙江的總量也是第三位.
A. ①② B. ②③④ C. ②④ D. ①③④
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【題目】在小明的婚禮上,為了活躍氣氛,主持人邀請10位客人做一個游戲.第一輪游戲中,主持人將標有數(shù)字1,2,…,10的十張相同的卡片放入一個不透明箱子中,讓客人依次去摸,摸到數(shù)字6,7,…,10的客人留下,其余的淘汰,第二輪放入1,2,…,5五張卡片,讓留下的客人依次去摸,摸到數(shù)字3,4,5的客人留下,第三輪放入1,2,3三張卡片,讓留下的客人依次去摸,摸到數(shù)字2,3的客人留下,同樣第四輪淘汰一位,最后留下的客人獲得小明準備的禮物.已知客人甲參加了該游戲.
(1)求甲拿到禮物的概率;
(2)設(shè)表示甲參加游戲的輪數(shù),求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知數(shù)列各項均為正數(shù), , ,且對任意恒成立,記的前項和為.
(1)若,求的值;
(2)證明:對任意正實數(shù), 成等比數(shù)列;
(3)是否存在正實數(shù),使得數(shù)列為等比數(shù)列.若存在,求出此時和的表達式;若不存在,說明理由.
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【題目】已知函數(shù), .
(1)求過點的的切線方程;
(2)當(dāng)時,求函數(shù)在的最大值;
(3)證明:當(dāng)時,不等式對任意均成立(其中為自然對數(shù)的底數(shù), ).
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【題目】如圖所示的自動通風(fēng)設(shè)施.該設(shè)施的下部是等腰梯形,其中為2米,梯形的高為1米, 為3米,上部是個半圓,固定點為的中點. 是由電腦控制可以上下滑動的伸縮橫桿(橫桿面積可忽略不計),且滑動過程中始終保持和平行.當(dāng)位于下方和上方時,通風(fēng)窗的形狀均為矩形(陰影部分均不通風(fēng)).
(1)設(shè)與之間的距離為(且)米,試將通風(fēng)窗的通風(fēng)面積(平方米)表示成關(guān)于的函數(shù);
(2)當(dāng)與之間的距離為多少米時,通風(fēng)窗的通風(fēng)面積取得最大值?
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