若函數(shù)f（x）=-cos²x+

1

2

（x∈R），則f（x）是（　�。�

若a實(shí)數(shù)，1+ai=i（2-i），則a等于（　�。�

定義：已知函數(shù)f（x）與g（x），若存在一條直線y=kx+b，使得對公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)均滿足g（x）≤f（x）≤kx+b恒成立，其中等號在公共點(diǎn)處成立，則稱直線y=kx+b為曲線f（x）與g（x）的“左同旁切線”．已知f（x）=Inx，g（x）=1-

1

x

（I）證明：直線y=x-l是f（x）與g（x）的“左同旁切線”；
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））是函數(shù) f（x）圖象上任意兩點(diǎn)，且0＜x₁＜x₂，若存在實(shí)數(shù)x₃＞0，使得f′（x₃）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

．請結(jié)合（I）中的結(jié)論證明x₁＜x₃＜x₂．

在計(jì)算“1×2+2×3+…n（n+1）”時，先改寫第k項(xiàng)：
k（k+1）=

1

3

[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，由此得1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2），2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3），．．
n（n+1）=

1

3

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，相加，得1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

n(n+1)(n+2)
（1）類比上述方法，請你計(jì)算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”的結(jié)果；
（2）試用數(shù)學(xué)歸納法證明你得到的等式．

（1）用反證法證明：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角大于或等于60°．
（2）已知n≥0，試用分析法證明：

n+2

-

n+1

＜

n+1

-

n

．

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+3ax+1在區(qū)間（-2，2）內(nèi)，既有極大也有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

已知f（x）=x²+bx+c為偶函數(shù)，曲線y=f（x）過點(diǎn)（2，5），g（x）=（x+m）f（x）．若曲線y=g（x）有斜率為0的切線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．

在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：

2

，則它們的面積比為1：2，類似地，在空間，若兩個正四面體的棱長比為1：2，則它們的體積的比為．

設(shè)f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，已知f（x）在R上的圖象（如圖），若f′（x）＞0，則x的取值范圍是．