Question

【題目】如圖,用一根長為L=1m的細線,一端系一質量為m=1kg的小球(可視為質點),另一端固定在一光滑錐體頂端,錐面與豎直方向的夾角θ=370,當小球在水平面內繞錐體的軸做勻速圓周運動的角速度為ω時,細線的張力為T.求 , , 計算結果可用根式表示):

(1)若要小球離開錐面,則小球的角速度 至少為多大?

(2)若細線與豎直方向的夾角為600,則小球的角速度ω1為多大?

(3)細線的張力T與小球勻速轉動的角速度ω有關,當ω的取值范圍在0到ω1之間時,請通過計算求解T與ω2的關系,并在圖坐標紙上作出T-ω2的圖象,標明關鍵點的坐標值.

Answer 1

【答案】（1） （2） (3)見解析

【解析】（1）小球剛要離開錐面時的速度，此時支持力為零，根據牛頓第二定律得：
mgtanθ=mω02Lsin θ
解得： ．
（2）同理，當細線與豎直方向成60°角時，由牛頓第二定律及向心力公式有：
mgtan α=mω′2Lsin α
解得： ．
（3）a．當ω1=0時 T1=mgcosθ=8N，標出第一個特殊點坐標（ 0，8N）；
b．當0＜ω＜ rad/s時，根據牛頓第二定律得：
Tsinθ-Ncosθ=mω2Lsinθ，
Tcosθ+Nsinθ=mg
解得T＝mgcosθ+mLω2(sinθ)2＝8+ω2
當ω2＝rad/s時，T2=12.5N 標出第二個特殊點坐標[12.5（rad/s）2，12.5N]；
c．當rad/s≤ω≤2rad/s時，小球離開錐面，設細線與豎直方向夾角為β，
T3sinβ＝mω2Lsinβ
解得：T3＝mLω2
當ω＝ω′＝2rad/s時，T3=20N
標出第三個特殊點坐標[20（rad/s）2，20N]．
畫出T-ω2圖象如圖所示．