Question

3．為了解決高樓救險(xiǎn)中云梯高度不夠高的問(wèn)題，可在消防云梯上再伸出輕便的滑桿．被困人員使用安全帶上的掛鉤掛在滑桿上、沿滑桿下滑到消防云梯上逃生．通�；瑮U由AO、OB兩段直桿通過(guò)光滑轉(zhuǎn)軸在O處連接，滑桿A端用掛鉤鉤在高樓的固定物上，且可繞固定物自由轉(zhuǎn)動(dòng)，B端用鉸鏈固定在云梯上端，且可繞鉸鏈自由轉(zhuǎn)動(dòng)，以便調(diào)節(jié)被困人員滑到云梯頂端的速度大小．設(shè)被困人員在調(diào)整好后的滑桿上下滑時(shí)滑桿與豎直方向的夾角保持不變，被困人員可看作質(zhì)點(diǎn)、經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)的速度大小不變，且始終沿滑桿滑動(dòng)．已知AO長(zhǎng)L₁=6m、OB長(zhǎng)L₂=12m、豎直墻與云梯上端點(diǎn)B的水平距離d=13.2m，被困人員安全帶上的掛鉤與滑桿AO間、滑桿OB間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=$\frac{5}{6}$．為了安全，被困人員到達(dá)云梯頂端B點(diǎn)的速度不能超過(guò)6m/s，取g=10m/s²．
（1）現(xiàn)測(cè)得OB與豎直方向的夾角為53°，此時(shí)AO與豎直方向的夾角是多少？分析判斷這種條件下被困人員滑到B點(diǎn)是否安全．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（2）若云梯頂端B點(diǎn)與豎直墻間的水平距離保持不變，求能夠被安全營(yíng)救的被困人員與云梯頂端B的最大豎直距離．

Answer 1

分析 （1）對(duì)OA由幾何關(guān)系可求得夾角，對(duì)人受力分析由牛頓第二定律可求得加速度的大小及方向；
再運(yùn)用運(yùn)用學(xué)公式求得被困人員到達(dá)云梯頂端B點(diǎn)速度，去進(jìn)行比較．
（2）對(duì)全程由動(dòng)能定理可得出重力及摩擦力做功與動(dòng)能的關(guān)系，由幾何關(guān)系可求得最大距離．

解答 解：（1）設(shè)桿OA、OB與豎直方向的夾角分別為α、β，由幾何關(guān)系得：
d=L₁sinα+L₂sinβ
解得：α=37°
對(duì)人受力分析，由牛頓第二定律得：
mgcosα-μmgsinα=ma₁
代入數(shù)據(jù)解得：a₁=3m/s²
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：V₀²=2a₁L₁
V₀=6m/s
mgcosβ-μmgsinβ=ma₂
a₂=-$\frac{2}{3}$m/s²
V_B²-V₀²=2（-a₂）L₂
v_B=2$\sqrt{5}$m/s，
因V_B＜6m/s，被困人員能安全到達(dá)云梯頂端B點(diǎn)．
（2）設(shè)滑桿兩端點(diǎn)AB的最大豎直距離為h，對(duì)被困人員下滑全過(guò)程由動(dòng)能定理得：
mgh-μmgL₁sinα′-μmgL₂sinβ′=$\frac{1}{2}$mv²
d=L₁sinα'+L₂sinβ'
h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$+μd
h≤12.8m
若兩桿伸直，AB間的豎直高度為：
h′=$\sqrt{{{（{{L}_{1}+L}_{2}）}^{2}-d}^{2}}$=12.24m
h'＜h
所以能夠被安全營(yíng)救的被困人員與云梯頂端B的最大豎直距離應(yīng)為h_m=12.24m．
答：（1）現(xiàn)測(cè)得OB與豎直方向的夾角為53°，AO與豎直方向的夾角是37°，被困人員滑到B點(diǎn)是安全的．
（2）若云梯頂端B點(diǎn)與豎直墻間的水平距離保持不變，能夠被安全營(yíng)救的被困人員與云梯頂端B的最大豎直距離是12.24m．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)在于對(duì)幾何關(guān)系的認(rèn)識(shí)，要注意找出題目中的臨界條件，再結(jié)合能量關(guān)系即可求出所要求的量來(lái)．