Question

5．如圖所示，豎直面內(nèi)固定的半徑為R的光滑半圓弧軌道，左、右端點(diǎn)P、Q與圓心在同一水平線上，且距地面的高度為$\frac{3R}{2}$，質(zhì)量均為M的物體A、B通過(guò)一輕彈簧連接，并豎直放置在Q正下方，物體A離Q點(diǎn)的距離為$\frac{R}{2}$，整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)有一質(zhì)量為m的小球C（可視為質(zhì)點(diǎn)）從P端正下方以一定初速度豎直上拋，小球C拋出的同時(shí)，從P點(diǎn)由靜止釋放另一質(zhì)量為m的彈性小球D（可視為質(zhì)點(diǎn)），兩球在空中碰后粘在一起（設(shè)為物體E，仍可視為質(zhì)點(diǎn)），E經(jīng)過(guò)半圓軌道后于物體A發(fā)生完全彈性碰撞，碰撞后E反彈恰能通過(guò)圓弧軌道最高點(diǎn)，物體A恰能到達(dá)Q點(diǎn)且物體B剛好不離開地面，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力，求：
（1）E和A碰撞反彈后，E通過(guò)圓弧軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）$\frac{m}{M}$；
（3）小球C豎直上拋的初速度大小v₀．

Answer 1

分析 （1）E恰好能通過(guò)圓弧最高點(diǎn)，重力提供向心力，根據(jù)向心力公式即可求解E通過(guò)圓弧軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）E反彈通過(guò)圓弧最高點(diǎn)過(guò)程中機(jī)械能守恒，物體A恰能到達(dá)Q端且B剛好不離開地面，重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，彈性碰撞過(guò)程中動(dòng)量和機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律及動(dòng)量守恒定律列式即可求解$\frac{m}{M}$；
（3）小球C與D發(fā)生碰撞前，由相遇時(shí)位移關(guān)系求相遇時(shí)間，由速度公式求得兩者碰撞前速度大小，兩者發(fā)生完全非彈性碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得到碰后的共同速度．再根據(jù)機(jī)械能守恒定律即可求解．

解答 解：（1）設(shè)E恰好能通過(guò)圓弧最高點(diǎn)時(shí)的速度為v，
則有  mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$
（2）設(shè)E與物體A碰撞前速度為v₁，碰后瞬間小球C的速度為v₁′，物體A的速度為v₂′．
E反彈通過(guò)圓弧最高點(diǎn)過(guò)程中機(jī)械能守恒，則有  $\frac{1}{2}$×2mv₁′²=$\frac{1}{2}$×2mv²+mg•$\frac{3}{2}$R
解得：v₁′=2$\sqrt{gR}$
由于物體A恰能到達(dá)Q端且B剛好不離開地面，彈簧的伸長(zhǎng)量與原來(lái)彈簧的壓縮量相等，彈簧的彈性勢(shì)能相等，由AB及彈簧系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得：
  $\frac{1}{2}$Mv₂′²=Mg•$\frac{R}{2}$
解得：v₂′=$\sqrt{gR}$
以豎直向下為正方向，由彈性碰撞得：
  2mv₁=2m（-v₁′）+Mv₂′
  $\frac{1}{2}$×2mv₁²=$\frac{1}{2}$×2mv₁′²+$\frac{1}{2}$Mv₂′²
聯(lián)立解得：v₁=3$\sqrt{gR}$
$\frac{m}{M}$=$\frac{1}{10}$
（3）設(shè)小球D下落時(shí)間t時(shí)與C碰撞，則有  $\frac{3}{2}$R=$\frac{1}{2}$gt²+（v_Ct-$\frac{1}{2}$gt²）
得 t=$\frac{3R}{2{v}_{C}}$
碰撞前C的速度 v_C′=v_C-gt=v_C-$\frac{3gR}{2{v}_{C}}$，D的速度 v_D=$\frac{3gR}{2{v}_{C}}$
CD碰撞過(guò)程，取豎直向上為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
   mv_C′-mv_D=2mv′
解得，碰后共同速度為 v′=$\frac{1}{2}$v_C-$\frac{3gR}{2{v}_{C}}$
CD碰撞前D下落的高度 h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=$\frac{9g{R}^{2}}{8{v}_{C}^{2}}$
CD共同體從碰后至與物體A碰撞前的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，則：
 $\frac{1}{2}•2$mv₁²+2mgR=$\frac{1}{2}•2mv{′}^{2}$+2mg（$\frac{3}{2}$R-h）
聯(lián)立解得：v_C=$\sqrt{38gR}$
所以v₀=v_C=$\sqrt{38gR}$
答：
（1）E和A碰撞反彈后，E通過(guò)圓弧軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度大小是$\sqrt{gR}$；
（2）$\frac{m}{M}$是$\frac{1}{10}$；
（3）小球C豎直上拋的初速度大小是$\sqrt{38gR}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要能正確分析物體的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，分段分析物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，知道碰撞的基本規(guī)律動(dòng)量守恒．彈性碰撞還遵守機(jī)械能守恒．