Question

如圖所示，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒曲垂直放在光滑足夠長的U形導(dǎo)軌的底端，導(dǎo)軌寬度和棒長相等且接觸良好，導(dǎo)軌平面與水平面成θ角，整個(gè)裝置處在與導(dǎo)軌平面垂直的勻強(qiáng)磁場中．現(xiàn)給導(dǎo)體棒沿導(dǎo)軌向上的初速度v₀，經(jīng)時(shí)間t₀導(dǎo)體棒到達(dá)最高點(diǎn)，然后開始返回，到達(dá)底端前已經(jīng)做勻速運(yùn)動(dòng)，速度大小為

v0

4

．已知導(dǎo)體棒的電阻為R，其余電阻不計(jì)，重力加速度為g，忽略電路中感應(yīng)電流之間的相互作用．求：
（1）導(dǎo)體棒從開始運(yùn)動(dòng)到返回底端的過程中，回路中產(chǎn)生的電能；
（2）導(dǎo)體棒在底端開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大��；
（3）導(dǎo)體棒上升的最大高度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)能量的轉(zhuǎn)化與守恒，導(dǎo)體棒減少的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為回路中的電能；
（2）導(dǎo)體棒在底端開始運(yùn)動(dòng)時(shí)受到重力、斜面的支持力和安培力的作用，沿斜面的方向重力的分力與安培力提供加速度，根據(jù)牛頓第二定律即可求出加速度；
（3）上升的過程中，導(dǎo)體棒的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為它的重力勢能和回路的電能．

解答：解：（1）據(jù)能量守恒，得△E=

1

2

mv₀²-

1

2

m（

v0

4

）²=

15

32

mv₀²
（2）在底端，設(shè)棒上電流為I，加速度為a，由牛頓第二定律，則：
（mgsinθ+BIL）=ma₁
由歐姆定律，得I=

E

R

  E=BLv₀
由上述三式，得a1=gsinθ+

B2L2v0

R

∵棒到達(dá)底端前已經(jīng)做勻速運(yùn)動(dòng)∴mgsinθ=

B2L2v0

4R

代人數(shù)據(jù)，得a₁=5gsinθ
（3）選沿斜面向上為正方向，上升過程中的加速度，上升到最高點(diǎn)的路程為S，
a=-（gsinθ+

B2L2v

mR

）
取一極短時(shí)間△t，速度微小變化為△v，由△v=a△t，得
△v=-gsinθ?△t-

B2L2v△t

mR

其中，v△t=△s
在上升的全過程中
∑△v=-（gsinθ∑△t+B²L²∑

△s

mR

）
即          0-v0=-gt0sinθ-

B2L2s

mR

∵H=S?sinθ       且gsinθ=

B2L2v0

4mR

∴H=

v 2 0 -v0gtsinθ

4g

答：（1）導(dǎo)體棒從開始運(yùn)動(dòng)到返回底端的過程中，回路中產(chǎn)生的電能

15

32

m

v

2 0

；
（2）導(dǎo)體棒在底端開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小5gsinθ；
（3）導(dǎo)體棒上升的最大高度H=

v 2 0 -v0gtsinθ

4g

．

點(diǎn)評(píng)：解決這類問題的關(guān)鍵時(shí)分析受力，進(jìn)一步確定運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，并明確判斷各個(gè)階段及全過程的能量轉(zhuǎn)化．在計(jì)算導(dǎo)體棒上升的最大高度時(shí)用到積分的概念，屬于競賽試題．