Question

7．如圖，在豎直平面內有一直角坐標系，其中y軸豎直，在y軸的右側有一半徑為R的絕緣光滑圓形軌道，軌道與x軸的左交點處有一小孔A，已知小孔A與圓心B的連線與x軸之間的夾角θ=30°，現在從y軸正半軸上的某一點水平拋出一可視為質點的帶正電小球，已知小球的質量為m，所帶電荷量為q，拋出時的初速度大小為v₀，小球恰能從A點無碰撞進入圓形軌道，重力加速度為g．
（1）試求拋出點的縱坐標值y；
（2）若小球進入圓弧軌道的同時，在豎直平面內朝某一方向施加一電場強度為E的勻強電場和垂直于紙面的磁感應強度為B的勻強磁場，小球恰好內沿圓軌道內側做勻速圓周運動，且與軌道間無擠壓，試求E的大小和B的大��；
（3）若小球進入圓弧軌道的同時，在豎直平面內朝某一方向施加一電場強度為E′的勻強電場，小球恰能沿軌道內側做圓周運動，且運動過程中的最大速度為2v₀，試求E的大�。�

Answer 1

分析 （1）小球從拋出點到A點做平拋運動，應用平拋運動規(guī)律求出y．
（2）小球做勻速圓周運動，重力與電場力合力為零，由平衡條件求出電場強度，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出磁感應強度．
（3）小球做圓周運動，分析清楚運動過程，應用余弦定理求出電場力與重力的合力，應用牛頓第二定律求出電場強度．

解答 解：（1）小球做平拋運動，
豎直分速度：v_y=gt，
由幾何知識得：tan30°=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}}$，
豎直分位移：y=$\frac{1}{2}$gt²，
解得：y=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{2g}$；
（2）小球做勻速圓周運動且與軌道間無相互作用力，
則：重力與電場力合力為零，mg=qE，解得：E=$\frac{mg}{q}$，方向：豎直向上；
小球進入軌道時的速度：v=$\frac{{v}_{0}}{sin30°}$，
洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：B=$\frac{2m{v}_{0}}{qR}$；
（3）小球恰好做圓周運動，最大速度：v=2v₀，則在A點速度最大，
最小速度出現在AB連線的延長線與圓弧的交點為C，且在C點小球對軌道壓力為0，
設小球的最小速度為v₁，電場力與重力的合力為F，由題意可知，F由C指向A，
在C點，由牛頓第二定律得：F=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，
從A到C過程，由動能定理得：-2FR=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$m（2v₀）²，
在C點，由余弦定理得：（qE′）²=（mg）²+F²-2mgFcos（90°-30°）
解得：E′=$\frac{m}{g}$$\sqrt{{g}^{2}+\frac{16{v}_{0}^{4}}{25{R}^{2}}-\frac{4g{v}_{0}^{2}}{5R}}$；
答：（1）拋出點的縱坐標值y為$\frac{3{v}_{0}^{2}}{2g}$；
（2）E的大小為$\frac{mg}{q}$，B的大小為$\frac{2m{v}_{0}}{qR}$；
（3）E的大小為$\frac{m}{g}$$\sqrt{{g}^{2}+\frac{16{v}_{0}^{4}}{25{R}^{2}}-\frac{4g{v}_{0}^{2}}{5R}}$．

點評 本題考查了小球在磁場中的運動，分析清楚小球的運動過程是解題的關鍵，應用類平拋運動規(guī)律、平衡條件、牛頓第二定律與余弦定理可以解題．