Question

3．如圖所示，長為L的輕桿一端連著質(zhì)量為m的小球，另一端用活動(dòng)鉸鏈固接于水平地面上的O點(diǎn)，初始時(shí)小球靜止于地面上，邊長為L、質(zhì)量為M的正方體左側(cè)靜止于O點(diǎn)處．現(xiàn)在桿中點(diǎn)處施加一大小始終為$\frac{6mg}{π}$（g為重力加速度）、方向始終垂直桿的拉力，經(jīng)過一段時(shí)間后撤去F，小球恰好能到達(dá)最高點(diǎn)．忽略一切摩擦，試求：
（1）拉力所做的功；
（2）拉力撤去時(shí)小球的速度大��；
（3）若小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)后由靜止開始向右傾斜，求桿與水平面夾角為θ時(shí)（正方體和小球還未脫落），正方體的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理，抓住動(dòng)能的變化量為零，求出力F做功的大小；
（2）根據(jù)F做功的大小求出桿與水平面夾角為α，根據(jù)動(dòng)能定理得出撤去F時(shí)小球的速度；
（3）通過桿和正方體速度的關(guān)系，對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用機(jī)械能守恒求出正方體的速度大�。�

解答 解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理可得：W_F-mgL=0                              
力F所做的功為W_F=mgL                                
（2）設(shè)撤去F時(shí)，桿與水平面夾角為α，撤去F前，有：
W_F=$\frac{6mg}{π}$×$\frac{L}{2}$α=mgL，
解得：α=$\frac{π}{3}$
根據(jù)動(dòng)能定理有：mgL-mgLsinα=$\frac{1}{2}$mv²                        
得撤去F時(shí)小球的速度為：v=$\sqrt{gL（2-\sqrt{3}）}$
（3）設(shè)桿與水平面夾角為θ時(shí)，桿的速度為v₁，正方體的速度為v₂
v₂=v₁sinθ                                              
系統(tǒng)機(jī)械能守恒有：
mg（L-Lsinθ）=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²                 
解得：v₂=$\sqrt{\frac{2mgL（1-sinθ）si{n}^{2}θ}{m+Msi{n}^{2}θ}}$．
答：（1）力F所做的功為mgL；
（2）力F撤去時(shí)小球的速度為$\sqrt{gL（2-\sqrt{3}）}$；
（3）正方體的速度大小為$\sqrt{\frac{2mgL（1-sinθ）si{n}^{2}θ}{m+Msi{n}^{2}θ}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒的綜合運(yùn)用，對(duì)于第二問，抓住F做功的大小，求出桿與水平面夾角是解題的關(guān)鍵．以及知道桿和正方體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒．