Question

12．將一足夠長的光滑U形導(dǎo)軌固定在豎直平面內(nèi)，空間存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度的大小為B，導(dǎo)軌間距為L，一質(zhì)量為2m的金屬板置于導(dǎo)軌的頂端，開始處于鎖定狀態(tài)，如圖所示．一質(zhì)量為m金屬塊由金屬板的正上方H高處無初速釋放，當(dāng)金屬塊與金屬板碰后鎖定立即解除，且二者共速，共同的速度為碰前金屬塊速度的$\frac{1}{3}$，此后二者一起向下運動．若忽略一切摩擦，除金屬板的電阻R外其余部分電阻均可忽路，重力加速度為g．
（1）金屬塊與金屬板碰后的瞬間．金屬板的加速度多大？
（2）碰后二者在加速的過程中，求金屬板的速度為v₁時金屬塊對金屬板的壓力多大？
（3）若碰后二者下落的高度為h時，二者開始以v_m的速度做勻速直線運動，求v_m的大�。�

Answer 1

分析 （1）金屬塊自由下落時，由動能定理求出碰撞前瞬間的速度，由題意得到碰后二者共同速度．由牛頓第二定律和安培力公式求解加速度．
（2）先以整體為研究對象，由牛頓第二定律求出加速度，再以金屬塊為研究對象，由牛頓第二定律求金屬板對金屬塊的支持力，從而得到金屬塊對金屬板的壓力．
（3）二者以v_m的速度做勻速直線運動，合力為零，根據(jù)平衡條件和安培力公式結(jié)合求v_m．

解答 解：（1）設(shè)碰撞前金屬塊的速度為v，根據(jù)動能定理有：
mgH=$\frac{1}{2}$mv²
得：v=$\sqrt{2gH}$
碰撞后金屬板以$\frac{1}{3}$v速度向下運動，產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：E=BL•$\frac{1}{3}$v=$\frac{1}{3}$BLv
金屬板受到向上的安培力為：F_安=BIL，而感應(yīng)電流為：I=$\frac{E}{R}$
根據(jù)牛頓第二定律：3mg-F_安=3ma
代入可得：a=g-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gH}}{9mR}$
（2）當(dāng)速度為v₁時同理求出向下運動的加速度為：a′=g-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{3mR}$
對金屬塊，根據(jù)牛頓第二定律得：mg-N=ma′
代入可得：N=mg-ma′=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$
根據(jù)牛頓第三定律可知金屬塊對金屬板的壓力大小為：N′=N=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$
（3）二者勻速運動時速度最大，加速度為零，由上可得：
3mg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$=0
解得：v_m=$\frac{3mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
答：（1）金屬塊與金屬板碰后的瞬間．金屬板的加速度為g-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gH}}{9mR}$．
（2）碰后二者在加速的過程中，金屬板的速度為v₁時金屬塊對金屬板的壓力是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$．
（3）若碰后二者下落的高度為h時，二者開始以v_m的速度做勻速直線運動，v_m的大小是$\frac{3mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

點評 此題關(guān)鍵要推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系式，知道金屬板和金屬塊做勻速直線運動時，所受的重力與安培力平衡．