Question

4．如圖所示，在x軸上方有一豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域，電場(chǎng)強(qiáng)度為E=500V/m．x軸下方分布有很多磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=1T的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，其寬度均為d₁=3cm，相鄰兩磁場(chǎng)區(qū)域的間距為d₂=4cm．現(xiàn)將一質(zhì)量為m=5×10^-13kg、電荷量為q=1×10^-8C的帶正電的粒子（不計(jì)重力）從y軸上的某處?kù)o止釋放．

（1）若粒子從坐標(biāo)（0，h₁）點(diǎn)由靜止釋放，要使它經(jīng)過(guò)x軸下方時(shí)，不會(huì)進(jìn)入第二磁場(chǎng)區(qū)，h₁應(yīng)滿足什么條件？
（2）若粒子從坐標(biāo)（0，5cm）點(diǎn)由靜止釋放，求自釋放到第二次過(guò)x軸的時(shí)間（π取3.14）．

Answer 1

分析 （1）由動(dòng)能定理求出粒子的速度，由牛頓第二定律可以正確解題．
（2）由動(dòng)能定理求出粒子的速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與牛頓第二定律、公式t=$\frac{θ}{2π}$T可以求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）粒子經(jīng)電場(chǎng)加速，經(jīng)過(guò)x軸時(shí)速度大小為v，
由動(dòng)能定理得：Eqh₁=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$-0，
之后進(jìn)入下方磁場(chǎng)區(qū)，依據(jù)題意可知運(yùn)動(dòng)半徑應(yīng)滿足：R₁＜d₁ ，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$，則：R₁=$\frac{m{v}_{1}}{qB}$，
解得：h₁＜$\frac{q{B}^{2}lj2dliv_{1}^{2}}{2mE}$=$\frac{1×1{0}^{-8}×{1}^{2}×0.0{3}^{2}}{2×5×1{0}^{-13}×500}$=1.8×10^-2m；
（2）當(dāng)粒子從h₂=5cm的位置無(wú)初速釋放后，
先在電場(chǎng)中加速，加速時(shí)間為t₁滿足h₂=$\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}_{1}^{2}$，
解得：t₁=$\sqrt{\frac{2m{h}_{2}}{qE}}$=$\sqrt{\frac{2×5×1{0}^{-13}×0.05}{×1×1{0}^{-8}×500}}$=1×10^-4s，
進(jìn)入磁場(chǎng)的速度大小為v₂，圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R₂，
在加速電場(chǎng)中，由牛頓第二定律得：Eqh₂=$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$，
解得：v₂=$\sqrt{\frac{2qE{h}_{2}}{m}}$=$\sqrt{\frac{2×1×1{0}^{-8}×500×0.005}{5×1{0}^{-13}}}$=1000m/s，
在磁場(chǎng)中，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$，
解得：R₂=$\frac{m{v}_{2}}{qB}$，R₂=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mE{h}_{2}}{q}}$=$\sqrt{\frac{2×5×1{0}^{-13}×500×0.05}{1×1{0}^{-8}}}$=0.05m=5cm；
根據(jù)粒子在空間運(yùn)動(dòng)軌跡可知，它最低能進(jìn)入第二個(gè)磁場(chǎng)區(qū)，
它在磁場(chǎng)區(qū)共運(yùn)動(dòng)時(shí)間為半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₂=$\frac{3.14×5×1{0}^{-13}}{1×1{0}^{-8}×1}$=1.57×10^-4s，
它經(jīng)過(guò)第一無(wú)磁場(chǎng)區(qū)時(shí)運(yùn)動(dòng)方向與x軸的夾角θ滿足：sinθ=$\frac{bume8rz_{1}}{{R}_{2}}$=$\frac{0.03}{0.05}$=0.6，
所以它在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)的路程：s=$\frac{29l0a0u4_{2}}{cosθ}$=$\frac{2×0.04}{0.8}$=0.1m，
無(wú)磁場(chǎng)區(qū)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₃=$\frac{s}{{v}_{2}}$=$\frac{0.1}{1000}$=1×10^-4s，
總時(shí)間t=t1+t2+t3=3.57×10-4s；
答：（1）h₁應(yīng)滿足什么條件為h₁＜1.8×10^-2m；
（2）自釋放到第二次過(guò)x軸的時(shí)間為3.57×10^-4s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，是電磁學(xué)綜合題，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可正確解題．