Question

15．平臺(tái)離水平地面的高度為H=6m，平臺(tái)的右上角有一光滑的$\frac{1}{4}$圓弧AB，過B 的切線水平．C為B在水平面的投影，一個(gè)質(zhì)量m=2kg的小球從A點(diǎn)由靜止開始釋放，g=10m/s²．求：
（1）當(dāng)圓弧AB的半徑1m時(shí)，小球落在水平面的位置離 C點(diǎn)的距離？
（2）當(dāng)圓弧AB的半徑多大時(shí)，小球落在水平面的位置離C點(diǎn)的距離有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）小球由A→B過程中，只有重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解速度，再根據(jù)拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的位移公式求解；
（2）利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析水平位移的表達(dá)式即可求解水平位移的最大值．

解答 解：（1）由機(jī)械能守恒定律可知：
mgR=$\frac{1}{2}$mv²
解得：v=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×1}$=2$\sqrt{5}$m/s；
小球由B點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)，由H-R=$\frac{1}{2}$gt²可得：
下落時(shí)間t=$\sqrt{\frac{2（H-R）}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×4}{10}}$=$\sqrt{0.8}$s；
則水平位移x=vt=2$\sqrt{5}$×$\sqrt{0.8}$=4m；
（2）設(shè)半徑為r，則由機(jī)械能守恒定律可知：
mgr=$\frac{1}{2}$mv²
由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知：H-r=$\frac{1}{2}$gt²
水平位移：x=vt
聯(lián)立解得：x=$\sqrt{4Hr-4{r}^{2}}$=$\sqrt{{H}^{2}-（2r-H）^{2}}$
則由數(shù)學(xué)規(guī)律可知，當(dāng)2r=H時(shí)小球具有最大水平位移，最大位移為：
x_max=H=6m．
故當(dāng)r=3m時(shí)，水平位移最大，最大位移為6m
答：（1）當(dāng)圓弧AB的半徑1m時(shí)，小球落在水平面的位置離 C點(diǎn)的距離為4m
（2）當(dāng)圓弧AB的半徑為3m時(shí)，小球落在水平面的位置離C點(diǎn)的距離有最大值，最大值為6m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查機(jī)械能守恒定律與平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的結(jié)合問題，解題的關(guān)鍵是對(duì)兩個(gè)的運(yùn)動(dòng)過程分析清楚，然后選擇機(jī)械能守恒定律和平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律列式求解．考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問題的能力．