Question

5．假設(shè)地球是一半徑為R，質(zhì)量分布均勻的球體，設(shè)想在地下以地心為圓心、半徑為r處開鑿一圓形隧道，在隧道內(nèi)有一小球繞地心做勻速圓周運動，且對隧道內(nèi)外壁的壓力為零，如圖所示．已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，地球的第一宇宙速度為v₁，小球的線速度為v₂，則$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$等于（　　）

• A． $\frac{r}{R}$
• B． $\frac{{r}^{2}}{{R}^{2}}$
• C． $\frac{R}{r}$
• D． $\frac{{R}^{2}}{{r}^{2}}$

Answer 1

分析 在隧道內(nèi)有一小球繞地心做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，可以解出速度與軌道半徑的關(guān)系，近地衛(wèi)星的軌道半徑等于地球半徑，根據(jù)萬有引力提供向心力，可以得到同樣形式的關(guān)系式．用密度和體積表示施加引力的球體的質(zhì)量，進一步計算出速度與軌道半徑的關(guān)系，再計算其比值．

解答 解：根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，又因為$M=ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$，所以$v=\sqrt{\frac{4}{3}πGρ{R}^{2}}$，有v∝R，所以$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{R}{r}$，故C正確、ABD錯誤．
故選：C．

點評 本題要掌握萬有引力提供向心力，結(jié)合質(zhì)量和密度的關(guān)系，能夠解出速度與半徑的關(guān)系．