Question

3．如圖所示，細(xì)繩一端系一質(zhì)量為m的小球，一端懸掛在O點(diǎn)，繩長(zhǎng)為l；小球靜止在最低點(diǎn)A處，現(xiàn)通過(guò)瞬時(shí)作用使小球獲得一水平向右的初速度v，問(wèn)初速度v滿(mǎn)足什么條件，繩始終被拉直？

Answer 1

分析 要保證小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中繩子始終不松弛，小球應(yīng)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)或在圓心下方運(yùn)動(dòng)．小球恰好能通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，向心力等于小球的重力，由此列式求最高點(diǎn)的最小值；恰好到達(dá)與圓心O等高位置時(shí)速度為零，再由機(jī)械能守恒定律求v₀滿(mǎn)足的條件．

解答 解：小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中繩子始終不松弛，有兩種情況：
第一情況：小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球通過(guò)最高點(diǎn)的最小速度為v．
則有 mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得
  $\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$=2mgL+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
聯(lián)立解得  v₀=$\sqrt{5gL}$=$\sqrt{10}$m/s
所以，要使小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，必須滿(mǎn)足的條件是：v₀≥$\sqrt{10}$m/s．
第二情況：小球在圓心下方運(yùn)動(dòng)，上升的最高點(diǎn)與圓心O等高，則由機(jī)械能守恒定律有
  $\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$=mgL，解得 v₀=$\sqrt{gL}$=$\sqrt{2}$m/s
在這種情況下，繩子始終不松弛，v₀滿(mǎn)足的條件是：0＜v₀≤$\sqrt{2}$m/s．
綜上，v₀滿(mǎn)足的條件是：v₀≥$\sqrt{10}$m/s或0＜v₀≤$\sqrt{2}$m/s．
答：初速度v滿(mǎn)足v₀≥$\sqrt{10}$m/s或0＜v₀≤$\sqrt{2}$m/s時(shí)繩始終被拉直

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要掌握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)的臨界條件：在最高點(diǎn)時(shí)，最小向心力等于重力．繩子剛松馳時(shí)，繩子的拉力為零，由重力指向圓心的分力提供向心力．要熟練應(yīng)用向心力公式、機(jī)械能守恒定律即可正確解題．