Question

2．如圖所示，內(nèi)壁光滑長度為4l、橫截面積為S的汽缸A、B，A水平、B豎直固定，之間由一段容積可忽略的細(xì)管相連，整個(gè)裝置置于溫度27℃、大氣壓為p₀的環(huán)境中，活塞C、D的質(zhì)量及厚度均忽略不計(jì)．原長3l、勁度系數(shù)$k=\frac{{3{p_0}S}}{l}$的輕彈簧，一端連接活塞C、另一端固定在位于汽缸A缸口的O點(diǎn)．開始活塞D距汽缸B的底部3l．后在D上放一質(zhì)量為$m=\frac{{{p_0}S}}{g}$的物體．求：
（1）穩(wěn)定后活塞D下降的距離；
（2）改變汽缸內(nèi)氣體的溫度使活塞D再回到初位置，則氣體的溫度應(yīng)變?yōu)槎嗌伲?

Answer 1

分析 （1）開始時(shí)，活塞質(zhì)量不計(jì)，容器內(nèi)氣體的壓強(qiáng)等于大氣壓，彈簧處于原長；在活塞D上放上質(zhì)量為m的物體后，活塞D下降后再次達(dá)到平衡時(shí)，由對(duì)活塞C受力平衡條件求得容器內(nèi)氣體的壓強(qiáng)．封閉氣體發(fā)生等溫變化，根據(jù)玻意耳定律列式求解；
（2）升高氣缸內(nèi)氣體溫度，當(dāng)活塞D剛好回到初始位置，此過程中壓強(qiáng)不變，彈簧的形變量不變，C的位置不變，對(duì)最初和最終根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程列式即可求出氣體溫度

解答 解：（1）開始時(shí)被封閉氣體的壓強(qiáng)為${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}$，活塞C距氣缸A的底部為l，被封氣體的體積為4lS，重物放在活塞D上穩(wěn)定后，被封氣體的壓強(qiáng)為：
${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{mg}{S}=2{p}_{0}^{\;}$
活塞C將彈簧向左壓縮了距離${l}_{1}^{\;}$，則活塞C受力平衡，有：
$k{l}_{1}^{\;}=（{p}_{2}^{\;}-{p}_{0}^{\;}）S$
根據(jù)玻意耳定律，得：${p}_{0}^{\;}4lS={p}_{2}^{\;}xS$
解得：x=2l
${l}_{1}^{\;}=\frac{l}{3}$
活塞D下降的距離為：$△l=4l-x+{l}_{1}^{\;}=\frac{7}{3}l$
（2）升高溫度過程中，氣體做等壓變化，活塞C的位置不動(dòng)，最終被封氣體的體積為$（4l+{l}_{1}^{\;}）•S$，對(duì)最初和最終狀態(tài)，根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程得
$\frac{{p}_{0}^{\;}4lS}{27+273}=\frac{{p}_{2}^{\;}（4l+\frac{l}{3}）S}{{t}_{2}^{\;}+273}$
解得：${t}_{2}^{\;}=377℃$
答：（1）穩(wěn)定后活塞D下降的距離$\frac{7}{3}l$；
（2）改變汽缸內(nèi)氣體的溫度使活塞D再回到初位置，則氣體的溫度應(yīng)變?yōu)?77℃

點(diǎn)評(píng) 本題考查玻意耳定律的應(yīng)用及壓強(qiáng)的計(jì)算，關(guān)鍵要注意首先明確氣體發(fā)生的什么變化，根據(jù)力平衡法求氣體的壓強(qiáng)，然后才能分析狀態(tài)參量，由理想氣體的狀態(tài)方程或?qū)嶒?yàn)定律進(jìn)行分析求解，第二問要注意升溫過程壓強(qiáng)不變，彈簧的形變量不變，活塞C不動(dòng)．