Question

12．如圖所示，在水平地面上固定一個(gè)半徑為R的半圓形軌道，其中圓弧部分光滑，水平段長為L，一質(zhì)量為m的小物塊緊靠一根被壓縮的彈簧固定在水平軌道的最右端，小物塊與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，現(xiàn)突然釋放小物塊，小物塊被彈出，恰好能夠到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)A，重力加速度為g，彈簧長度忽略不計(jì)，求：
（1）小物塊運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道的最低點(diǎn)O′點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力；
（2）小物塊釋放前彈簧具有的彈性勢能．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)出小物塊在圓弧軌道的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的速度，有最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程中，機(jī)械能守恒，在最低點(diǎn)時(shí)，合力提供向心力，再結(jié)合牛頓第二定律和第三定律即可求得在軌道的最低點(diǎn)O′點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力．
（2）分析從釋放小物塊到運(yùn)動(dòng)到圓弧最低點(diǎn)的過程中的能量的轉(zhuǎn)化，利用動(dòng)能定理可得知小物塊釋放前彈簧具有的彈性勢能．

解答 解：設(shè)小物塊被彈簧彈出時(shí)的速度大小為v₁，到達(dá)圓弧軌道的最低點(diǎn)時(shí)速度大小為v₂，到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)時(shí)速度大小為v₃．
（1）因?yàn)樾∥飰K恰好能到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)，故向心力剛好由重力提供，設(shè)在最高點(diǎn)時(shí)的速度為v₃，有：$\frac{{m{v_3}^2}}{R}=mg$
設(shè)在最低點(diǎn)時(shí)的速度為v₂，小物塊在圓弧軌道上從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程中，由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{v_2}^2=mg×2R+\frac{1}{2}m{v_3}^2$
小物塊運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道最低點(diǎn)O′點(diǎn)時(shí)受到的支持力和重力的合力提供向心力，有：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
聯(lián)立以上三式解得：F_N=6mg
由牛頓第三定律可得壓力與支持力為作用力和反作用力，有：${F_N}^′={F_N}=6mg$
（2）設(shè)小物塊被彈出時(shí)的速度為v₁，小物塊被彈簧彈出到運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道的最低點(diǎn)的過程中由動(dòng)能定理可得：$-μmg×L=\frac{1}{2}m{v_2}^2-\frac{1}{2}m{v_1}^2$
小物塊釋放前彈簧具有的彈性勢能轉(zhuǎn)化為小物塊被彈出時(shí)的動(dòng)能，故有：E_p=$\frac{1}{2}$$m{v}_{1}^{2}$
解得：E_p=$\frac{5}{2}$mgR+μmgL
答：（1）小物塊運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道的最低點(diǎn)O′點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力為6mg；
（2）小物塊釋放前彈簧具有的彈性勢能為$\frac{5}{2}$mgR+μmgL．

點(diǎn)評 該題考查到了向心力、機(jī)械能的守恒以及動(dòng)能定理等知識，對于向心力的問題，分析哪些力提供了向心力是解題的關(guān)鍵，可以牢記“沿半徑方向上的所有力的合力提供向心力”；利用機(jī)械能守恒解題，緊扣只有重力和彈力做功這一條件；對于動(dòng)能定理，要分析初末兩個(gè)狀態(tài)的動(dòng)能這兩個(gè)狀態(tài)量，同時(shí)要弄清楚運(yùn)動(dòng)過程中有哪些力做了功，是做正功還是負(fù)功．