Question

（2008?泰州模擬）如圖甲所示，光滑絕緣水平面上一矩形金屬線圈abcd的質(zhì)量為m、電阻為R、ad邊長(zhǎng)度為L(zhǎng)，其右側(cè)是有左右邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，ab邊長(zhǎng)度與有界磁場(chǎng)區(qū)域?qū)挾认嗟�，在t=0時(shí)刻線圈以初速度v₀進(jìn)入磁場(chǎng)，在t=T時(shí)刻線圈剛好全部進(jìn)入磁場(chǎng)且速度為v₁，此時(shí)對(duì)線圈施加一沿運(yùn)動(dòng)方向的變力F，使線圈在t=2T時(shí)刻線圈全部離開(kāi)該磁場(chǎng)區(qū)，若上述過(guò)程中線圈的v-t圖象如圖乙所示，整個(gè)圖象關(guān)于t=T軸對(duì)稱．
（1）求t=0時(shí)刻線圈的電功率；
（2）線圈進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱和穿過(guò)磁場(chǎng)過(guò)程中外力F所做的功分別為多少？
（3）若線圈的面積為S，請(qǐng)運(yùn)用牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律和電磁學(xué)規(guī)律證明：在線圈進(jìn)人磁場(chǎng)過(guò)程中v₀-v₁=

B2LS

mR

．

Answer 1

分析：（1）t=0時(shí)，母親線圈產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv₀，電功率P=

E2

R

．
（2）線圈進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中動(dòng)能轉(zhuǎn)化為焦耳熱，由能量守恒求焦耳熱．外力做功一是增加動(dòng)能，二是克服安培力做功，由功能關(guān)系求得外力做功．
（3）運(yùn)用微元法思想，將時(shí)間分為若干等分，每一等分可看成勻變速運(yùn)動(dòng)，由公式△v=at列式，得到速度的變化量與電流的關(guān)系，由電量公式公式Q=It，得到速度的變化量與感應(yīng)電荷量的關(guān)系，再根據(jù)法拉第定律、歐姆定律得到感應(yīng)電荷量Q=

△φ

R

=

BS

R

，聯(lián)立即可得到證明．

解答：解：（1）t=0時(shí)，E=BLv₀
線圈電功率P=

E2

R

=

B2L2v02

R

（2）線圈進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中動(dòng)能轉(zhuǎn)化為焦耳熱
   Q=

1

2

mv₀²-

1

2

mv₁²
外力做功一是增加動(dòng)能，二是克服安培力做功
     W_F=△E_k+Q=mv₀²-mv₁²
（3）根據(jù)微元法思想，將時(shí)間分為若干等分，每一等分可看成勻變速
  v_n-v_n+1=

BLIn

m

tn
∴v₀-v₁=

BL

m

（I₁t₁+I₂t₂+…+I_nt_n）
其中I₁t₁+I₂t₂+…+I_nt_n=Q
電量Q=It=

△φ

R

=

BS

R

∴v₀-v₁=

B2LS

mR

答：
（1）t=0時(shí)刻線圈的電功率是

B2L2v02

R

；
（2）線圈進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱和穿過(guò)磁場(chǎng)過(guò)程中外力F所做的功分別為

1

2

mv₀²-

1

2

mv₁²和mv₀²-mv₁²．
（3）證明略．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵能夠熟練運(yùn)用能量守恒定律，知道線圈進(jìn)磁場(chǎng)的過(guò)程和出磁場(chǎng)過(guò)程產(chǎn)生的熱量相等．并能運(yùn)用微元法處理非勻變速運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題．