Question

如圖所示，水平方向大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的上下邊界分別是MN、PQ，磁場(chǎng)寬度為L(zhǎng)，一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形導(dǎo)線框（L＞2a）從磁場(chǎng)上方豎直下落，線框的質(zhì)量為m，電阻為R，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中上下兩邊始終與磁場(chǎng)邊界平行，若線框進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中感應(yīng)電流保持不變．（運(yùn)動(dòng)過(guò)程中空氣阻力不計(jì)，重力加速度為g．）求：（1）線框下端進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度．
（2）線框下端即將離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)線框的加速度．
（3）若線框上端離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)線框恰好保持平衡，求線框離開(kāi)磁場(chǎng)的過(guò)程中流經(jīng)線框電量q和線框完全通過(guò)磁場(chǎng)產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

（1）線框進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)電流保持不變，I=

Bav

R

線框勻速進(jìn)入磁場(chǎng)，受力平衡，則有：mg=BIa
聯(lián)立求解可得：v=

mgR

B2a2

（2）線框完全進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)線框下端即將離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度為V′，則
v′²-v²=2g（L-a）
此時(shí)線框受到的安培力為 F=Ba

Bav′

R

=

B2a2v′

R

、重力mg，則加速度為 a=

F-mg

m

聯(lián)立解得：a=

B2a2

mR

m2g2R2 B4a4 +2g(L-a)

-g，方向豎直向上．
（3）當(dāng)線框上端離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)恰好保持平衡，說(shuō)明線框受到的安培力與重力相等．
則線框上端離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)與線框下端進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度相等均為v，離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)線框做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)這段過(guò)程中平均電流為

.

I

，
流過(guò)線框的電流q=

.

I

△t=

. E

R

△t=

△Φ

R

=

Ba2

R

線框通過(guò)磁場(chǎng)全過(guò)程產(chǎn)生的熱量等于安培力做功的負(fù)值：Q=-W_安
取線框下端進(jìn)入磁場(chǎng)到線框上端離開(kāi)磁場(chǎng)為研究過(guò)程，根據(jù)能量守恒定律得：
Q=mg（L+a）
答：（1）線框下端進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為

mgR

B2a2

．
（2）線框下端即將離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)線框的加速度為

B2a2

mR

m2g2R2 B4a4 +2g(L-a)

-g，方向豎直向上．
（3）若線框上端離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)線框恰好保持平衡，線框離開(kāi)磁場(chǎng)的過(guò)程中流經(jīng)線框電量q是

Ba2

R

，線框完全通過(guò)磁場(chǎng)產(chǎn)生的熱量Q為mg（L+a）．