Question

如圖1所示，一個(gè)電阻值為R，匝數(shù)為n的圓形金屬線圈與阻值為2R的電阻R₁連接成閉合回路，線圈的半徑為r₁，在線圈中半徑為r₂的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直于線圈平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的關(guān)系圖線如圖2所示，圖線與橫、縱軸的截距分別為t₀和B₀導(dǎo)線的電阻不計(jì)．

（1）求0至t₀時(shí)間內(nèi)通過(guò)電阻R₁上的電流大小和方向；
（2）求t₀時(shí)刻電容器C上所帶電荷量；
（3）求0至t₀時(shí)間內(nèi)通過(guò)電阻R₁上的電量q；
（4）畫(huà)出0至5t₀時(shí)間內(nèi)通過(guò)電阻R₁上的電流隨時(shí)間變化的圖象，求出電流的有效值；
（5）求0至5t₀時(shí)間內(nèi)電阻R₁上產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析：（1）由法拉第電場(chǎng)感應(yīng)可得產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律可得電阻R₁上的電流．
（2）已知電動(dòng)勢(shì)可知電容器兩端電壓，進(jìn)而由電容定義式可得電容器的帶電量．
（3）由電流定義式可得0至t₀時(shí)間內(nèi)通過(guò)電阻R₁上的電量q．
（4）由磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化，可以得到電流的變化，進(jìn)而可以畫(huà)出0至5t₀時(shí)間內(nèi)通過(guò)電阻R₁上的電流隨時(shí)間變化的圖象．
（5）Q_熱=I²Rt可求求0至5t₀時(shí)間內(nèi)電阻R₁上產(chǎn)生的熱量．

解答：解：（1）由圖2可知

△B

△t

=

B0

t0

，由法拉第電磁感應(yīng)定律知：
E=n

△?

△t

=

nπr22△B

△t

=

πnB0 r 2 2

t0

由閉合電路歐姆定律知：
I=

E

3R

=

πnB0 r 2 2

3Rt0

，方向由b→a．
（2）電容器兩端電壓：
U=IR₁=

2πnB0 r 2 2

3t0

t₀時(shí)刻電容器C上所帶電荷量：
Q=CU=

2πnCB0 r 2 2

3t0

．
（3）通過(guò)電阻R₁上的電量為：
q=It₀=

πnB0 r 2 2

3R

．
（4）通過(guò)電阻R₁上的電流隨時(shí)間變化為：
0～t₀：I=

πnB0 r 2 2

3Rt0

t₀～2t₀：I=-

πnB0 r 2 2

3Rt0

2t₀～3t₀：I=

πnB0 r 2 2

3Rt0

3t₀～4t₀：I=-

πnB0 r 2 2

3Rt0

4t₀～5t₀：I=

πnB0 r 2 2

3Rt0

可得電流隨時(shí)間變化圖象如圖所示．
根據(jù)電流有效值的意義可知電流的有效值為：
I=

πnB0 r 2 2

3Rt0

．
（5）電阻R₁上產(chǎn)生的熱量為：
Q_熱=I²R₁?5t₀=

10π2n2B02r24

9Rt0

答：（1）求0至t₀時(shí)間內(nèi)通過(guò)電阻R₁上的電流大小和方向由閉合電路歐姆定律知：
I=

πnB0 r 2 2

3Rt0

，方向由b→a；
（2）求t₀時(shí)刻電容器C上所帶電荷量；
（3）求0至t₀時(shí)間內(nèi)通過(guò)電阻R₁上的電量q=

πnB0 r 2 2

3R

；
（4）0至5t₀時(shí)間內(nèi)通過(guò)電阻R₁上的電流隨時(shí)間變化的圖象如圖，電流的有效值I=

πnB0 r 2 2

3Rt0

；
（5）求0至5t₀時(shí)間內(nèi)電阻R₁上產(chǎn)生的熱量為

10π2n2B02r24

9Rt0

．

點(diǎn)評(píng)：考查楞次定律來(lái)判定感應(yīng)電流方向，由法拉第電磁感應(yīng)定律來(lái)求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大�。�還可求出電路的電流大小，及電阻消耗的功率．同時(shí)磁通量變化的線圈相當(dāng)于電源．