Question

用圖所示的水平傳送帶AB和斜面BC將貨物運送到斜面的頂端．傳送帶AB的長度L=11m，上表面保持勻速向右運行，運行的速度v=12m/s．傳送帶B端靠近傾角θ=37°的斜面底端，斜面底端與傳送帶的B端之間有一段長度可以不計的小圓弧．在A、C處各有一個機器人，A處機器人每隔△t=1.0s將一個質量m=10kg的貨物箱（可視為質點）輕放在傳送帶A端，貨物箱經傳送帶和斜面后到達斜面頂端的C點時速度恰好為零，C點處機器人立刻將貨物箱搬走．已知斜面BC的長度s=5.0m，傳送帶與貨物箱之間的動摩擦因數μ₀=0.55，貨物箱由傳送帶的右端到斜面底端的過程中速度大小損失原來的

1

11

，g=10m/s²（sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）斜面與貨物箱之間的動摩擦因數μ；
（2）從第一個貨物箱放上傳送帶A端開始計時，在t₀=3.0s的時間內，所有貨物箱與傳送帶的摩擦產生的熱量Q；
（3）如果C點處的機器人操作失誤，未能將第一個到達C點的貨物箱搬走而造成與第二個貨物箱在斜面上相撞．求兩個貨物箱在斜面上相撞的位置到C點的距離．（本問結果可以用根式表示）

Answer 1

（1）貨物箱在傳送帶上做勻加速運動過程，根據牛頓第二定律有
        μ₀mg=ma₀
解得：a₀=μ₀g=5.5m/s²                                      
由運動學公式：v₁²=2a₀L
解得貨物箱運動到傳送帶右端時的速度大小為：v₁=11m/s
貨物箱剛沖上斜面時的速度 v₂=（1-

1

11

）v₁=10m/s
貨物箱在斜面上向上運動過程中v₂²=2a₁s
解得：a₁=10m/s²                                   
根據牛頓第二定律：mgsinθ+μmgcosθ=ma₁
解得：μ=0.5；                                       
（2）3.0s內放上傳送帶的貨物箱有3個，前2個已經通過傳送帶，它們在傳送帶上的加速時間t₁=t₂=2.0s；第3個還在傳送帶上運動，其加速時間 t₃=1.0s．
前2個貨物箱與傳送帶之間的相對位移
△s=vt₁-

1

2

v₁t₁=13m
第3個貨物箱與傳送帶之間的相對位移
△s′=vt₃-

1

4

v₁t₃=9.25m                          
前2個貨物箱與傳送帶摩擦產生的總熱量為：
Q₁=2μ₀ mg△s=1430J
第三個貨物箱與傳送帶摩擦產生的熱量為：
Q₂=μ₀ mg△s′=508.75J．                         
總共生熱  Q=Q₁+Q₂=1938.75J．                           
（3）貨物箱由A運動到B的時間為2.0s，由B運動到C的時間為1.0s，可見第一個貨物箱沖上斜面C端時第二個貨物箱剛好沖上斜面．
貨物箱沿斜面向下運動，根據牛頓第二定律有
mgsinθ-μmgcosθ=ma₂
解得加速度大小a₂=2.0m/s²                                 
設第一個貨物箱在斜面C端沿斜面向下運動與第二個貨物箱相撞的過程所用時間為t，
有：v₂t-

1

2

a₁t ²+

1

2

a₂t ²=s
解得：t=

5- 5

4

s≈0.69 s                               
兩個貨物箱在斜面上相遇的位置到C端的距離
s₁=

1

2

a₂t²=

30-10 5

16

m≈0.48 m  
答：（1）斜面與貨物箱之間的動摩擦因數μ為0.5；
（2）從第一個貨物箱放上傳送帶A端開始計時，在t₀=3.0s的時間內，所有貨物箱與傳送帶的摩擦產生的熱量Q為1938.75J；
（3）兩個貨物箱在斜面上相撞的位置到C點的距離為0.48 m．