Question

20．如圖所示，一根一端封閉的玻璃管，長(zhǎng)度l=96cm，開口豎直向上，內(nèi)有一段長(zhǎng)度h=20cm的水銀柱．當(dāng)溫度為27℃時(shí)，被封閉氣體的長(zhǎng)度H=60cm．溫度至少升到多高時(shí)，水銀柱才能從管中全部溢出？（大氣壓p₀=76cmHg）

Answer 1

分析 開始溫度升高時(shí)，氣體壓強(qiáng)不變，作等壓變化．在水銀不斷外溢過程中，氣體不再是等壓變化，當(dāng)水銀柱上升至管口時(shí)，溫度再升高，水銀就會(huì)開始溢出，這時(shí)的氣體壓強(qiáng)隨水銀的溢出而減小，氣體的體積在不斷增大，溫度不需要繼續(xù)升高．由理想氣體狀態(tài)方程列出液柱長(zhǎng)度與溫度的關(guān)系式，討論溫度的最值．

解答 解：開始溫度升高時(shí)，氣體壓強(qiáng)不變，氣體體積膨脹，水銀柱上升．當(dāng)水銀柱上升至管口時(shí)，溫度再升高，水銀就會(huì)開始溢出，這時(shí)的氣體壓強(qiáng)隨水銀的溢出而減小，氣體的體積在不斷增大，溫度不需要繼續(xù)升高，設(shè)該溫度為t₂，剩余的水銀柱的高度為x，玻璃管的橫截面積為S．
氣體的初始狀態(tài)為：${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}+h$          ${V}_{1}^{\;}=aS$             ${T}_{1}^{\;}=300K$
氣體的末狀態(tài)為：${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}+x$             ${V}_{2}^{\;}=（96-x）S$       ${T}_{2}^{\;}=273+{t}_{2}^{\;}$
根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程有：$\frac{{p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$，即：$\frac{（76+20）×60S}{273+27}=\frac{（76+x）（96-x）S}{273+{t}_{2}^{\;}}$
要使剩余氣體全部溢出的溫度${t}_{2}^{\;}$最高，則（76+x）（96-x）必為最大，
又因?yàn)?6+x+96-x=182為常數(shù)，所以當(dāng)76+x=96-x，即x=10cm時(shí)，（76+x）（96-x）有最大值
解得${t}_{2}^{\;}=112℃$時(shí)，水銀全部溢出．
答：溫度至少升到112℃時(shí)，水銀柱才能從管中全部溢出

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要正確分析氣體的狀態(tài)變化過程，明確水銀不斷外溢過程中，氣體不再是等壓變化，溫度隨體積增大按“拋物線”規(guī)律變化，由氣態(tài)方程列式求解最值