Question

14．如圖所示，軌道ABCD的AB段為一半徑R=1m的$\frac{1}{4}$圓形軌道，BC段為高為h=5m的豎直軌道，CD段為水平軌道．一質(zhì)量為0.2kg的小球由A點運動到B點，離開B點做平拋運動，由于存在摩擦力的緣故小球在圓弧軌道上的速度大小始終為2m/s．（g取10m/s²），求：
（1）小球從A點運動到水平軌道的時間；
（2）小球到達B點時對圓形軌道的壓力；
（3）如果在BCD軌道上放置一個傾角θ=45°的斜面（如圖中虛線所示），那么小球離開B點后能否落到斜面上？如果能，求它第一次落在斜面上的位置．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓弧軌道的弧長和線速度的大小求出小球從A點運動到B點的時間，結(jié)合平拋運動的時間求出小球從A點到水平軌道的時間．
（2）根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合B點的線速度大小求出支持力，從而得出小球?qū)�B點的壓力大小．
（3）根據(jù)平拋運動到地面的時間，求出水平位移，判斷能否落在斜面上．如果能，結(jié)合豎直位移和水平位移的關(guān)系求出運動的時間，結(jié)合水平距離求出落點的位置．

解答 解：（1）小球從A到B的時間為：${t}_{1}=\frac{\frac{πR}{2}}{v}=\frac{\frac{π×1}{2}}{2}=\frac{π}{4}s$，
平拋運動的時間為：${t}_{2}=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×5}{10}}s=1s$，
則小球從A點運動到水平軌道的時間為：t=${t}_{1}+{t}_{2}=（\frac{π}{4}+1）s$．
（2）根據(jù)牛頓第二定律得：$N-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：N=mg+$m\frac{{v}^{2}}{R}$=$2+0.2×\frac{4}{1}N=2.8N$．
（3）水平位移為：x=vt₂=2×1m=2m＜5m，
根據(jù)$tan45°=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}=\frac{gt}{2{v}_{0}}$，t=$\frac{2{v}_{0}tan45°}{g}=\frac{2×2}{10}s=0.4s$，
則小球的水平位移為：x₁=vt=2×0.4m=0.8m，
豎直方向上的位移為：${y}_{1}=\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{1}{2}×10×0.16m=0.8m$，
則距離地面的高度為：y₂=5-0.8m=4.2m．
答：（1）小球從A點運動到水平軌道的時間為$（\frac{π}{4}+1）s$；
（2）小球到達B點時對圓形軌道的壓力為2.8N．
（3）能落到斜面上，落點與豎直軌道BC的距離為0.8m，與水平軌道CD的距離為4.2m．

點評 本題考查了圓周運動和平拋運動的綜合，知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律以及圓周運動向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵．