Question

9．如圖所示，長(zhǎng)度為L(zhǎng)=1.2m的木板A放在水平地面上，小物塊B（可看成質(zhì)點(diǎn)）放在木板A的最右端，A、B質(zhì)量均為m=5kg，A與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.3，A與B間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.2，開(kāi)始A、B均靜止．現(xiàn)用以一水平恒力F=60N作用在A上，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，取g=10m/s²，求：
（1）恒力F剛作用在A上時(shí)，A、B各自的加速度大小；
（2）要使B不從A上掉下，恒力F作用的最長(zhǎng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）應(yīng)用牛頓第二定律求出A、B相對(duì)滑動(dòng)的臨界加速度、求出A、B相對(duì)滑動(dòng)的臨界拉力大小，根據(jù)拉力與臨界拉力的關(guān)系判斷A、B的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，然后應(yīng)用牛頓第二定律求出A、B的加速度．
（2）有拉力時(shí)A、B均做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，撤去拉力后A做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，B做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩者速度相等時(shí)如果B恰好到達(dá)A的最后端，則B恰好不從A上滑落，拉力的作用時(shí)間最長(zhǎng)，應(yīng)用牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出拉力的作用時(shí)間．

解答 解：（1）A、B相對(duì)靜止時(shí)，系統(tǒng)的最大加速度為：a=$\frac{{μ}_{2}{m}_{B}g}{{m}_{B}}$=μ₂g=2m/s²，
由牛頓第二定律可知，臨界拉力：F_臨-μ₁（m_A+m_B）a=（m_A+m_B）a，
解得：F_臨=50N，
由此可知，當(dāng)拉力小于等于50N時(shí)，A、B相對(duì)靜止一起做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)拉力大于50N時(shí)A、B相對(duì)滑動(dòng)，已知拉力F=60N＞F_臨，A、B相對(duì)滑動(dòng)，由牛頓第二定律可知，加速度為：
a_B=$\frac{{μ}_{2}{m}_{B}g}{{m}_{B}}$=μ₂g=2m/s²，
a_A=$\frac{F-{μ}_{2}{m}_{B}g-{μ}_{1}（{m}_{A}+{m}_{B}）g}{{m}_{A}}$=$\frac{60-0.2×5×10-0.3×（5+5）×10}{5}$=4m/s²；
（2）開(kāi)始A、B均做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)拉力的作用時(shí)間為t，則剛撤去拉力時(shí)物體的速度為：
v_A=a_At=4t，
v_B=a_Bt=2t，
此過(guò)程A、B的位移為：
x_A=$\frac{1}{2}$a_At²=2t²，
x_B=$\frac{1}{2}$a_Bt²=t²，
撤去拉力后B繼續(xù)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，A做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，有：
a_B′=a_B=2m/s²，
a_A′=$\frac{{μ}_{2}{m}_{B}g+{μ}_{1}（{m}_{A}+{m}_{B}）g}{{m}_{A}}$=$\frac{0.2×5×10+0.3×（5+5）×10}{5}$=8m/s²，
設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t′A、B的速度相等，此時(shí)他們的共同速度為v，
則：v=v_B+a_B′t′=2t+2t′，v=a_A′t′-a_A′t′=4t-8t′，
則：2t+2t′=4t-8t′，t=5t′，
此過(guò)程A、B的位移為：
x_A′=v_At′-$\frac{1}{2}$a_A′t′²=4tt′-$\frac{1}{2}$×8×t′²=$\frac{16{t}^{2}}{25}$，
x_B′=v_Bt′+$\frac{1}{2}$a_B′t′²=2tt′+$\frac{1}{2}$×2×t′²=$\frac{11{t}^{2}}{25}$，
B恰好不從A上掉下需要滿足：x_A+x_A′-（x_B+x_B′）=L，
即：2t²+$\frac{16{t}^{2}}{25}$-（t²+$\frac{11{t}^{2}}{25}$）=1.2，
解得：t=1s；
答：（1）恒力F剛作用在A上時(shí)，A、B各自的加速度大小分別是4m/s²、2m/s²；
（2）要使B不從A上掉下，恒力F作用的最長(zhǎng)時(shí)間為1s．

點(diǎn)評(píng) 本題是運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)相結(jié)合的一道綜合題，物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程復(fù)雜，分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可以解題；解題時(shí)注意臨界條件的應(yīng)用．