Question

2．已知萬有引力常量G，地球半徑R，月球中心與地球中心間的距離為r，同步衛(wèi)星距離地面的高度為h，月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)周期為T₁，地球自轉(zhuǎn)周期為T₂，地球表面的重力加速度為g．某同學(xué)根據(jù)以上條件，提出一種估算地球質(zhì)量的方法：
同步衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，由$G\frac{Mm}{h^2}=m{（\frac{2π}{T_2}）^2}h$得$M=\frac{{4{π^2}{h^3}}}{GT_2^2}$．
（1）請(qǐng)判斷上面的結(jié)果是否正確，并說明理由．
（2）根據(jù)題目給定的已知條件，提出兩種估算地球質(zhì)量的方法，并計(jì)算出最后結(jié)果．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力，列式求解，地球半徑較大，不能忽略；
（2）對(duì)月球或地球應(yīng)用萬有引力提供向心力，也可根據(jù)在地球表面重力等于向心力求解．

解答 解：
（1）上面結(jié)果是錯(cuò)誤的，地球的半徑R在計(jì)算過程中不能忽略，
不正確，因?yàn)橥�步衛(wèi)星的軌道半徑是h+R，不是h．
（2）解法一：
對(duì)同步衛(wèi)星，設(shè)同步衛(wèi)星的質(zhì)量是m，則：$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}=m（R+h）{（\frac{2π}{T_2}）^2}$
解得：$M=\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{GT_2^2}$
解法二：
對(duì)地面上質(zhì)量為m的物體$\frac{GMm}{R^2}=mg$
解得：$M=\frac{{g{R^2}}}{G}$
解法三：對(duì)月球，設(shè)月球的質(zhì)量為m，則：$\frac{GMm}{r^2}=mr{（\frac{2π}{T_1}）^2}$
解得：$M=\frac{{4{π^2}{r^3}}}{GT_1^2}$
答：（1）上面的結(jié)果不正確，因?yàn)橥�步衛(wèi)星的軌道半徑是h+R，不是h．
（2）根據(jù)題目給定的已知條件，估算地球質(zhì)量的方法如上所示．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵抓住萬有引力提供向心力和在地球表面重力等于萬有引力這兩個(gè)關(guān)系，并能根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．