Question

13．如圖所示，AB為半徑R=0.8m的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道，下端B恰與小車右端平滑對接．小車質量M=3kg，車長L=2.06m，車上表而距地而的高度h=0.2m．現有一質量m=lkg的滑塊，由軌道頂端無初速度釋放，滑到B端后沖上小車．已知地而光滑，滑塊與小車上表而間的動摩擦因數μ=0.3，當車運行了1.5s時，被地而裝置鎖定（g=l0m/s²）．求：
（1）滑塊到達B端時，軌道對它支持力的大小
（2）車被鎖定時，車右端距軌道B端的距離
（3）從車開始運動到被鎖定的過程中，滑塊與車面間由于摩擦產生的內能大小
（4）滑塊落地點離車左端的水平距離．

Answer 1

分析 （1）由機械能守恒定律求出滑塊滑到B端時的速度，由牛頓第二定律求出軌道對它的支持力．
（2）滑塊沖上小車后，滑塊向左做勻減速運動，小車向左做勻加速運動．根據牛頓第二定律分別求出滑塊和小車的加速度，由運動式求出兩者速度相同經過的時間，確定兩者的運動情況．再求解車右端距軌道B端的距離．
（3）求出滑塊相對于小車的位移△x，由內能E=μmg△x求出內能．
（4）滑塊滑出小車后做平拋運動，求出滑塊滑到A端的速度和平拋的時間，求解滑塊落地點離車左端的水平距離．

解答 解：（1）設滑塊到達B端時速度為v，由機械能守恒定律，得：
   mgR=$\frac{1}{2}$mv²；
得 v=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s
 由牛頓第二定律，得：F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
聯立代入數值解得：F_N=3mg=30N．
（2）當滑塊滑上小車后，由牛頓第二定律，得
對滑塊有：-μmg=ma₁
對小車有：μmg=Ma₂
設經時間t兩者達到共同速度，則有：v+a₁t=a₂t
解得：t=1 s．                                                         
由于t=1s＜1.5 s，此時小車還未被鎖定，兩者的共同速度：v′=a₂t=1 m/s，兩者一起勻速運動，直到小車被鎖定．     
故車被鎖定時，車右端距軌道B端的距離：
   x=$\frac{1}{2}$a₂t²+v′t′，
代入數據解得：x=1 m．
（3）從車開始運動到被鎖定的過程中，滑塊相對小車滑動的距離為：
△x=$\frac{v+v′}{2}$t-$\frac{1}{2}$a₂t²
代入數據解得△x=2m                                            
故產生的內能：E=μmg△x=0.3×10×2J=6 J．
（4）對滑塊由動能定理，得：-μmg（L-△x）=$\frac{1}{2}$mv″²-$\frac{1}{2}$mv′²；
 滑塊脫離小車后，在豎直方向有：h=$\frac{1}{2}$gt″²；
滑塊落地點離車左端的水平距離：x′=v″t″
代入數據解得，x′=0.16 m．
答：
（1）滑塊到達B端時，軌道對它支持力的大小為30N．
（2）車被鎖定時，車右端距軌道B端的距離為1m．
（3）從車開始運動到被鎖定的過程中，滑塊與車面間由于摩擦而產生的內能大小為6J．
（4）滑塊落地點離車左端的水平距離為0.16m．

點評 本題之處在于分析滑塊和小車速度相同所經歷的時間，與1.5s進行比較來分析兩者的運動情況．求摩擦生熱Q=f△x，△x是相對位移．本題也可以根據動量守恒定律求出共同速度，再由能量守恒定律求產生的內能．