Question

7．我國(guó)探月計(jì)劃分成“繞、落、回”三部分．若已知地球和月球的半徑之比為a，地球表面的重力加速度和月球表面的重力加速度之比為b，以下說法正確的是（　　）

• A． 在地球和月球之間的某處飛船受到的地球和月球的引力大小相等，此處距地球和月球的距離之比為$\frac{a}$
• B． 飛船繞地球表面飛行和繞月球表面飛行的周期之比為$\sqrt{ab}$
• C． 地球與月球的第一宇宙速度之比為$\sqrt{\frac{a}}$
• D． 地球與月球的質(zhì)量之比為a²b

Answer 1

分析 D、根據(jù)星球表面重力等于萬有引力列式分析；
A、根據(jù)萬有引力定律列式求解距地球和月球的距離之比；
B、根據(jù)重力等于萬有引力得到周期表達(dá)式進(jìn)行分析；
C、根據(jù)重力等于萬有引力得到第一宇宙速度表達(dá)式進(jìn)行分析．

解答 解：D、在星球表面，重力等于萬有引力，故：
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
故M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
由于地球和月球的半徑之比為a，地球表面的重力加速度和月球表面的重力加速度之比為b，故地球與月球的質(zhì)量之比為a²b，故D正確；
A、在地球和月球之間的某處飛船受到的地球和月球的引力大小相等，根據(jù)萬有引力定律，有：
$G\frac{{{M_地}m}}{r_地^2}=G\frac{{{M_月}m}}{r_月^2}$
故$\frac{r_地}{r_月}=\sqrt{\frac{M_地}{M_月}}=\sqrt{{a^2}b}$
故A錯(cuò)誤；
B、在星球表面，重力提供向心力，故：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$
已知地球和月球的半徑之比為a，地球表面的重力加速度和月球表面的重力加速度之比為b，故地球與月球的第一宇宙速度之比為$\sqrt{ab}$，故B錯(cuò)誤；
C、在星球表面，重力提供向心力，故：
mg=m（$\frac{2π}{T}$）²R
解得：T=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$∝$\sqrt{\frac{R}{g}}$
由于地球和月球的半徑之比為a，地球表面的重力加速度和月球表面的重力加速度之比為b，故飛船繞地球表面飛行和繞月球表面飛行的周期之比為$\sqrt{\frac{a}}$，故C錯(cuò)誤；
故選：D

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于人造衛(wèi)星的問題，關(guān)鍵是明確兩個(gè)思路：衛(wèi)星的萬有引力提供向心力；在地球表面附近，重力等于萬有引力．